《AppliedMath》：Mathematical Social Dynamics: Traditional and New Areas of Research
研究人员对用于研究社会过程、社会结构与社会系统中行动者的数学模型应用展开综述。本综述的范围不限于概率论、统计学、随机过程、微分方程、博弈论等传统数学应用，同时讨论了网络理论在社会网络分析中的应用，以及针对社会系统动力学的数值研究，这类应用在近年增长极快。研究特别关注社会物理学（Sociophysics）领域成果，该领域结合物理学模型与概念，运用数学方法分析社会系统；另一专项主题涵盖经济物理学（Econophysics）成果，将数学方法、物理学理论与方法应用于经济系统动力学研究。此外，研究人员给出数学方法应用于社会系统的若干示例：（a）应用差分方程建模网络中通道的物质流动；（b）针对流行度波模型的关联非线性方程给出解析解；（c）针对更复杂的两毒株流行度波模型给出数值结果，该模型考虑支持者对人物、物质实体或信息（思想、理论、意识形态等）的正负流行度的观点变化。最后一类示例展示了数值分析在发现所研究社会系统新效应方面的有效性。综述末尾附大量参考文献，可作为新进入研究者了解数学社会动力学广阔领域的指引。
1 引言
人类社会是由个体之间、个体与物质环境之间相互作用构成的复杂多组分系统，因此可以尝试建立一套通用定量建模策略，刻画社会中集体动态宏观过程。该策略以数学建模为核心基础。社会系统数学研究可分为两类：一类不使用数学工具，本综述聚焦另一类——实质性运用数学的研究，例如基于统计工具的社会网络分析、事件史建模等，同时关注数学在向其他学科传递社会动力学知识过程中的作用。
当前数学已广泛应用于社会科学各领域，典型方向包括数理经济学、数理语言学、社会选择数理理论、博弈论，同时延伸至政治学、人口学、管理学、心理学等领域。数学应用于社会研究的目标多元，既包含对大型现实社会系统的预测与控制，也包含设计应对经济衰退的结构性方案，此外还衍生出大量数学指数（如权力指数）及针对特定社会过程的模型。
本综述涵盖数学社会动力学领域的研究成果。二战后社会系统的数学研究进入密集发展阶段，下文将简要梳理相关研究的历史脉络，重点聚焦于：数学方法在社会物理学与经济物理学研究中的应用、人工智能与深度学习在社会动力学问题中的应用、确定性非线性模型微分方程的精确求解方法论。数值研究因多数模型复杂度过高无法解析求解而受到重点关注，下文将讨论三个专项示例：网络通道中物质流动的离散时间模型（可应用于迁移通道）、两毒株流行度波传播模型的解析解、允许观点变化的两毒株流行度波模型的数值研究结果。
数学应用于社会系统建模时需审慎借鉴其他学科原理。社会系统存在微观层面的相互作用组分（个体）与宏观层面的集体现象，这一特征与物理学相似——物理学的微观对应粒子，宏观对应粒子系统。物理学中存在描述粒子的方程，但社会系统微观层面尚无此类成熟方程。数学建模的核心目标之一是为社会系统宏观变量推导动力学方程，使其数学结构与物理学宏观变量方程具有可比性，该方向已取得诸多成果，例如迁移模型、群体动力学模型、集体政治意见形成模型、城市动力学模型等。
数学社会系统建模路径多元，包括博弈论路径、图论与网络理论路径。本文包含两个核心目标：一是向相关研究者介绍近几十年快速扩张的数学社会动力学研究领域，讨论其在经济物理学、社会物理学等新兴领域的应用，以及机器学习、人工智能对不同规模社会群体动力学研究的支撑作用；二是吸引更多研究者进入这一极具前景的领域，该领域近年来与经济学、计算机科学、物理启发神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）、深度学习等领域产生了密集交叉互动。
2 社会系统中的过程、结构与行动者——社会过程的确定性与随机模型
2.1 模型分类
社会系统的经典模型分类包含三类：过程模型（确定性与随机）、结构模型、行动者模型，此外还存在三类模型的混合形态。早期研究多追求模型的解析解，仅适用于简单模型；复杂模型必须依托计算机开展研究，数值研究既包含模型数值解计算，也包含社会系统的计算机模拟。
当前这一分类已难以清晰划分研究领域：社会网络分析的兴起使结构视角渗透到几乎所有模型类型，网络研究正转向社会关系的生成与消解、网络结构的动态演化；而在行动者模型（基于智能体的建模）中，过程、结构与行动被整合为不可分割的社会表征。
2.2 社会过程模型
Coleman是社会过程数学建模的早期奠基者，此后该领域研究规模持续扩张，覆盖冲突动力学模型、意见动力学模型、社交网络蠕虫传播模型、流行病耦合社会动力学模型、社会结构演化模型、时变影响模型、人道主义科学集体行为模型、犯罪社会流行病模型、行人流动力学模型、语言存续模型等多元方向。
社会过程模型分为确定性与随机两类。确定性过程的特征是若已知当前状态，未来状态可被完全确定，通常由微分方程或差分方程描述，广泛应用于意见形成与支持决策、创新扩散阈值模型、成员竞争流行病模型、组织动力学模型、教会与街头帮派增长模型等场景。随机过程则仅能以概率预测未来状态，由随机微分方程描述，常可简化为福克-普朗克方程，典型应用包括失业随机模型、社会行动者社会流动性模型、生态过程与流行病传播随机模型、职业流动性模型、犯罪发生率模型、创新扩散随机模型、社会系统状态转移模型、人口学模型、选举动力学模型、社会网络随机模型、自愿归属模型、职位链与地位及组织成就随机模型等。
2.3 确定性与随机模型的差异
确定性模型的输出由状态与事件的已知关系精确决定，给定输入始终产生相同输出，所有参数均为已知量且无随机项；随机模型则通过引入一个或多个输入的随时间随机波动，估计潜在输出的概率分布，这类波动基于选定时段的历史观测数据。
确定性社会系统假设输入集合已知，通常可采用解析方法建模，仅在变量规模极大时采用数值方法；随机社会系统则需纳入不确定性，不存在单一输入对应的唯一输出，而是存在与概率关联的潜在解分布。二者的核心差异体现在：确定性模型的未来完全由初始条件与系统参数决定，不包含随机性或不确定性；随机模型则将随机性与不确定性纳入系统，承认未来结果同时受初始条件与概率因素影响。预测层面，确定性模型的预测精度通常高于随机模型，相同初始条件下输出稳定；随机模型因包含随机变量，仅能产生概率性预测，输出存在一定范围，可预测性相对更低。
数学表达上，确定性模型通常采用确定性微分或代数方程，随机模型则在方程中融入随机变量与概率项，多为随机微分方程。确定性模型假设对系统有完全认知，无随机因素干扰输出；随机模型则纳入现实社会系统受外部影响产生的随机性，这类影响会导致输出波动。确定性模型适用于系统相对稳定、参数定义清晰的场景，随机模型适用于系统存在固有变异或随机性的场景。
确定性模型通常更易分析与求解，无需开展概率计算与随机变量处理；随机模型因纳入随机性，分析复杂度更高，但在社会系统建模中应用频率更高，核心原因是社会系统数据多为离散型，可直接通过随机模型开展离散变量变化的建模。两类过程模型的共性是难以体现个体异质性，若要建模真实异质性需要为每个个体新增方程，随着社会系统规模扩大，建模负担会快速上升，因此更适用于宏观过程与聚合数据分析。
3 社会结构模型
社会结构模型的研究重点为图论与网络理论相关模型。White与Harary对该领域做出了重要贡献，当前相关研究多被称为社会网络分析，核心工具包括矩阵代数与图论。研究议题覆盖社会网络的复杂性、社会-生态系统耦合网络、自组织政策网络、政治与政策网络、影响网络、抗议网络、立法者网络、网络宣传与政治传播网络、国家政治网络等。
社会运动作为集体行动的典型形态，是重要研究方向，具体涵盖反对派网络、集体行为阈值模型、联盟形成与消解、社会运动与社会网络的关联、社会关系强度与行动主义的关联、社会运动参与机制，以及社会网络中的弱关系理论等。社区发现是另一核心研究领域，社区作为网络的基本构成单元，其识别有助于理解网络结构与互动模式，支撑流行病时期的决策制定，随机块模型是该方向的常用工具。
社会网络中的信息扩散、大规模网络中的社区演化、结构角色、互动模式均是研究重点，其中科研合作网络、引文网络属于特殊的科学网络，相关成果可支撑科研成果扩散研究。此外还包括社会网络的选择与位置、E态结构主义（从个体预期视角研究网络结构涌现）、社会影响、网络结构洞、文化维度的社会网络分析、网络交换理论中的人际权力关系、小规模群体（小世界，规模150-200人）研究等方向，研究发现局部网络结构的微小变动会对全局动力学产生显著影响。
社会网络研究还延伸至事件结构模型、自然资源治理、健康行为动力学（含疫苗接种行为、吸烟动力学、饮酒行为 initiation等）。信息流与通信研究因社交媒体平台的兴起成为热点，网络理论可用于解释平台上的连接模式、信息流动规律、内容传播差异，以及个体网络位置与信息获取的关系。同质性（Homophily）是推动网络集群形成的核心机制，相似性会催生连接，进而形成同类聚集。网络关系强度由时间投入、情感强度、亲密度、互惠服务四个维度构成：强关系对应家庭、密友、长期伙伴，信息冗余度高；弱关系对应同事、熟人、前同学，能够连接彼此隔离的网络集群，发挥结构桥接作用，带来非冗余信息。
社会网络模型存在若干局限：数据采集层面，手动采集需界定采集深度，自动采集（依托社交媒体）存在数据不可访问、平台过滤导致的缺失问题，滚雪球抽样还可能引发过采样偏差，部分成员数据缺失也会导致分析数据集不完整；时间维度上，单次采集的数据无法反映网络随时间的动态变化，难以捕捉关系与互动的演化特征；网络边界界定也存在困难，非正式或松散连接的群体难以明确划分范围，进而影响分析结果，同时不同网络对应不同现象与结构，横向比较需格外审慎。
4 博弈论与理性选择
社会行动者模型聚焦博弈论与理性选择理论，二者已在过去八十年中被广泛应用于社会系统动力学研究。博弈可按多个维度分类：零和博弈与非零和博弈，前者一方收益等于另一方损失，总收益为零，例如棋类、体育竞技；后者所有参与者可能共同受益或共同受损，例如贸易谈判、商业合作。对称博弈与非对称博弈，前者参与者的角色、可用策略完全一致，无位置带来的先天优势，囚徒困境是典型案例；后者参与者初始策略、收益、资源存在差异，处于不对等位置，例如小企业进入大公司主导的同类产品市场。同时移动博弈与序贯移动博弈，前者参与者同时决策且不知晓对方选择，例如封闭式拍卖竞价；后者参与者依次决策，例如棋类、谈判。合作博弈与非合作博弈，前者参与者长期对齐利益，组成联盟，核心是公平分配合作的成本与收益，实现总收益最大化；后者参与者以自身利益最大化为决策导向，无绑定协议，合作仅由自利驱动，例如竞争性市场。完美信息博弈与不完美信息博弈，前者所有决策与历史移动完全透明，例如棋类；后者参与者需在不完整或隐藏信息下决策。
上述分类为海量博弈研究提供了结构化框架。博弈论与理性选择理论紧密关联，后者假设社会行动者在所有情境下均会优化自身行动的结果感知。演化博弈论是重要分支，不再基于前瞻性的理性预期，而是通过历史特征判断最优策略，研究方向包括演化稳定性与合作、雄性替代策略演化、政治极化演化、合作与背叛的循环等。当前博弈论还与机器学习、人工智能深度融合，用于研究复杂社会系统，例如政治研究、基于智能体的建模与人工社会生长等。
行动者特征研究分为个人特征与集体特征两个维度：个人特征研究依托贝叶斯恐慌与学习模型、搭便车者研究、社会行动者网络地位研究；集体特征研究重点关注权力概念，例如社会网络中心性与权力、政治的数学分析视角。博弈论还广泛用于集体行动研究，涵盖合作博弈、社会嵌入博弈、私人博弈等方向，成瘾行为、集体行动与集体行为也是核心研究议题，同时涉及信任与合作（尤其是陌生人之间的合作）机制。群体辩证法的核心是对立过程——本地资源的冲突与邻里的合作，这是演化博弈论的基础，目标是理解生物与社会系统中合作的演化与普遍性。网络视角的合作研究包括成对互动网络中的合作、时间网络中的合作，时间网络中节点间的连接强度随时间变化，任意时刻断开的节点可能在下一时刻建立连接，该类网络已被用于流行病学动力学、网络可控性研究。循环支配是另一研究方向，除合作与背叛策略外至少存在一个额外策略，形成A支配B、B支配C、C支配A的非传递关系，也可在成对竞争的种群互动动力学中观测到。
博弈论在国防（军事决策）、战略博弈、导弹与雷达干扰防护、问题情境分析等领域均有应用，还延伸至建筑工程管理中的集体行动、供应链管理、网络设计、自然灾害管理、安全管理、系统工程、战略行为研究、项目管理、人道主义运营管理、会计、风险分析、投票与选举制度研究等场景。
博弈论模型也存在局限：多数模型假设参与者完全理性，忽略情绪或非理性行为对实际决策的影响；常过度简化复杂情境，遗漏细节，降低现实应用精度；部分模型存在多重均衡解，难以预测参与者会选择哪个均衡；大量模型假设参与者拥有完全信息，而现实中不完全信息更为普遍；多数模型未纳入信任、声誉等情感与心理社会因素，而这些因素会显著影响人类决策。
5 数学在社会物理学与经济物理学中的应用
过去二十年，数学、物理学与社会科学产生了密集交叉互动，催生了两个新兴学科：社会物理学与经济物理学，均融合数学社会动力学方法与物理学方法开展社会系统研究。
5.1 社会物理学
物理学与社会科学的交叉历史悠久，早期源于计算社会科学的发展与传感器采集的日常行为大数据。物理学家很早就观察到物理现象与社会现象的相似性，例如伊辛（Ising）模型最初用于解释铁磁性，将取值+1或-1的自旋置于一维或二维晶格上，通过相邻自旋的耦合常数强弱，可产生铁磁相（自旋同向排列）或反铁磁相（相邻自旋反向排列），已有研究尝试将其用于意见动力学建模，用正负自旋代表不同意见。Schweitzer指出，这类复现物理学洞见（如相变、标度律）的模型虽能揭示统计物理特征，但对理解社会动力学的贡献有限。社会物理学已发展出多个分支：群体决策、联盟构建、投票、独裁统治研究、基于Axelrod模型的文化传播模型；自组织现象模型，根源可追溯至物理化学中的结构形成模型，后被迁移至生物与社会系统的组织过程建模，Helbing、Weidlich与Haag是该方向的重要研究者。近二十年来，社会物理学家密集开展社会网络研究，从小世界现象起步，逐步延伸至各类社会网络。熵是物理学中的核心概念，社会熵相关研究已形成一定规模。几乎所有社会系统都是非线性的，因此非线性动力学方法被广泛应用于社会过程研究，包括城市动力学、社会扩散、流行病传播（含媒体信息效应、疫苗接种、免疫力消退等议题）、意见形成速率模型、移民与贫民窟形成、投票与共识构建、种族中心主义演化、宗教与宗教演化、媒体过程（媒介物理学），以及科学动力学与科研成果评价等方向。
城市动力学是社会物理学的重要研究领域，涵盖交通流、网络通道流动等问题，与城市人口的社会合作、社会网络组织密切相关。城市发展伴随犯罪、迁移等问题，因此犯罪网络研究也形成了较大规模的研究体量。
5.2 数学在经济物理学与经济学中的应用
1995年，H. E. Stanley在加尔各答举办的国际统计物理会议上将“经济学”与“物理学”合并，创造了“经济物理学”一词。早在之前，社会互动与社会规范就已是经济学的研究对象，例如已有研究用偏微分方程研究价格梯度下的超额需求平流与扩散过程。物理学家对经济动力学问题的兴趣升温可追溯至九十年前，Majorana指出金融与经济系统也可成为自然科学的研究对象。
经济物理学是跨学科领域，将统计物理的各类模型与概念应用于金融与经济现象研究，其核心是基于统计性质普遍性与复杂性的社会经济系统（市场、企业、国民经济）思维方式，多采用数据驱动的方法论，使用的分布并非高斯分布，而是峰度更高的分布，因此极端事件的发生概率显著更高。
经济学研究社会如何配置资源以生产商品并向人群（或经济主体）分配商品的议题，经济系统行为理解常依托混沌、自组织、随机动力学、相关效应、标度性、自相似性等同物理学高度相关的概念。
过去几十年，概率论的成果（如鞅理论、布朗运动理论、随机微积分）大幅推动了数理金融发展，例如套利定价理论的构建。近二十年来，大规模经济数据库的建立，使得现代计算机与经济物理学、经济学的数学方法可联合开展分析，适用的统计方法包括Hayashi-Yoshida估计量（可在时间序列无需同步的情况下计算协方差/相关性）、相关矩阵分析、随机矩阵理论、图论等。
除金融市场过程研究外，经济物理学也聚焦市场行动的建模，其中基于智能体的模型应用广泛：包括金融市场最小智能体模型、财富分布智能体模型（可依托马尔可夫链、主方程、矩阵理论、玻尔兹曼方程等方法开展研究）、订单簿与订单簿智能体模型（如订单簿的反应-扩散模型、沉积-蒸发模型）、交易者羊群行为、金融市场少数者博弈模型与演化博弈模型（纳入达尔文选择机制）等。
6 数值分析与计算机模拟——数据驱动方法
过去十年，随着现代计算机算力提升，社会系统的数值分析与计算机模拟研究规模快速增长。模拟的目标是加深对技术与扩散过程、税收收入演化等经济社会现象的理解，还可用于预测经济社会现象的数值特征。计算社会动力学方法已在经济增长模拟、财政与社会政策干预效应评估、依赖总体人口属性的个体行为建模等场景得到应用，元胞自动机可用于模拟种群内的局部互动，多智能体模型可用于模拟互动种群中的信息流。
模拟模型的时间跨度逐渐分化，部分仅关注经济增长的宏观层面，部分同时覆盖微观与宏观层面；模型复杂度也在提升，智能体数量、智能体间互动数量持续增加。随着算力进步，计算社会动力学方法的应用场景不断拓展：包括社会物理学领域的大数据分析、社会行为数据驱动建模、复杂网络上的各类现象模拟（意见动力学形成、社会影响与政治动员、社会群体消解）、尤其是人群模拟；人工智能也被用于社会群体模拟。其他应用还包括组织适应、社会学序列分析与最优匹配方法、计算社会学、蒙特卡洛模拟语言动力学、集体行为与群体社会化行为计算建模与分析、结构交换理论数值研究、情感分析、大学校园网络形成模拟、社会互动模式量化、宗教信仰神经网络模型、逃税智能体模型、隐蔽网络瓦解、社会冲突模拟（作为人类发展动力学的过程）等，其中COVID-19大流行的多智能体模拟是典型应用案例。
现代复杂社会系统的数值研究方法已深度融合机器学习、深度学习与人工智能技术。人工智能是机器执行需人类智能任务的广义概念，例如聊天机器人、部分机器人；机器学习是一系列从数据中学习模式以开展预测的算法，推荐系统是典型应用；深度学习是机器学习的子集，依托多层神经网络，常见于图像识别、语音翻译系统。
基于人工智能与机器学习的方法被用于理解大规模人类行为现象，机器学习已渗透至社会科学多个领域，其范式与技术被用于发现、测量与因果推断，支撑社会系统的研究与实践，具体应用包括经济学研究、国际冲突研究、模式识别、社会预测、人类行为分析、组织结构揭示、医疗健康监测系统、社交媒体分析与营销、抑郁检测、卫生系统运行优化等。人工智能包含大量大规模数据建模的算法与工具，可模拟与延伸人脑智能，支撑学习、推理、思考、规划等智能行为，应用场景覆盖教育、高等教育、决策支持、社会系统模拟、知识管理、岗位替代、城市动力学等。各类神经网络是重要研究方向，包括流体动力学神经网络、微分方程求解神经网络、物理启发神经网络（PINN）——其核心是通过训练神经网络最小化损失函数，近似偏微分方程的解，将控制方程的残差项作为惩罚项纳入损失函数，约束可行解空间，该方法已在COVID-19研究中得到应用。深度强化学习是人工智能的重要分支，面向序贯决策任务，可应用于智能基础设施、医疗、金融等领域；深度学习还被用于赛博-物理-社会系统中的模式识别、数字与社交媒体分析、情感分析、抑郁筛查等场景。
人工智能可分为三类：第一类是狭义人工智能（Artificial Narrow Intelligence, ANI），又称弱人工智能，也是当前唯一存在的类型，仅能被训练完成单一或狭窄任务，完成后通常比人类效率更高、效果更好，例如亚马逊Alexa、OpenAI的ChatGPT均属于此类。第二类是通用人工智能（Artificial General Intelligence, AGI），属于理论概念，当前正处于密集研发阶段，该类人工智能可利用过往学习与技能在新场景中完成新任务，无需人类重新训练底层模型，可完成人类能开展的所有智力任务。第三类是超级人工智能（Artificial Superintelligence, ASI），若实现该类人工智能，其思考、推理、学习、判断能力与认知水平将超越人类。
现有研究已探索狭义人工智能在社会系统多维度分析中的应用，包括 novelty 生产、公共行政与民主、经济学、艺术与人类创造力、教育等。关于通用人工智能能否实现、其与意识的关系也有诸多讨论，超级人工智能的概念则被用于分析发展挑战与负面后果预测。需特别注意的是，强人工智能与超级人工智能的应用需保持审慎：随着能力提升，人类可能失去对AI系统的控制，若超级人工智能优先追求自身目标，可能会将人类安全置于次要位置；AI系统的决策质量依赖于训练数据，若数据包含错误信息，会导致决策偏差；AI还可能被用于政治虚假信息宣传、市场操纵、加速犯罪活动，因此需要开展针对性研究，规避这类负面发展。
数据驱动方法可同步分析多参数，揭示底层物理规律。社会科学领域的多数理论方法源自特定过程的微分方程推导，但大量复杂社会系统尚无可靠高效的模型，基于微分方程的模型若需支撑实时行动，算力需求会随预测能力提升快速上涨，这类场景下可替换为数据驱动模型以降低计算成本；缺乏微分方程模型但拥有大规模数据时，也可采用数据驱动模型。数据驱动模型与微分方程模型还可整合为混合模型，结构来自微分方程模型，数据分析用于优化模型结构与参数取值。近年来兴起的物理启发建模也催生了物理启发的数据驱动模型。
7 示例1：经济学与城市发展应用——交通理论
网络理论在社会动力学中有诸多应用，本节展示其中一个应用：网络通道中特定物质（物质流动、个体移动）的流动，以及用于分析这类流动的差分方程模型工具。1962年Ford与Fulkerson出版了极具影响力的专著，涵盖网络流的最大流、最小成本流等成果，可应用于运输问题，后续应用场景不断拓展，在数学社会动力学中已被用于小群体研究、社会网络结构分析、社会影响研究、疏散规划等方向。
网络与交通流高度关联，交通流研究覆盖城市道路车辆交通、交通拥堵、铁路网络、空中交通管理等场景，也包含管道网络中的油气流动等物质运输研究。网络流的经济与生物维度研究也形成了较多成果，包括供应链、能源管理的商品网络、金融网络流、森林管理、灾害救援行动等，网络流理论还可用于人口与流行病问题，尤其可支撑人类迁移问题的评估与预测。
网络流建模的数学层面是当前的研究重点，包括最大流问题、最短路径查找，算法层面的研究也备受关注，涵盖极小极大运输问题算法、凸成本网络流算法、多商品网络算法（例如用于高中课程表编排）、网络流并行计算、分布式计算、树状与环状网络流、黎曼问题等，相关研究还可依托图论、组合数学、线性规划开展。
7.1 含微分方程的网络流模型
本节简要介绍基础模型，首先以道路交通为例：车辆交通会引发城市拥堵、环境污染等社会问题，从社会视角出发，需要对车流进行合理规划与管理，由此催生了诸多数学模型。微观车辆交通模型需对每辆车单独建模，动力学由多个二阶常微分方程描述；还有动力学宏观模型，基于连续介质假设，依托偏微分方程构建，核心思路是将道路上的车辆运动描述为欧拉方程与纳维-斯托克斯方程，将车辆视为小微粒，核心模型量为微粒密度ρ(x,t)，满足守恒方程?ρ/?t + ?(vρ)/?x = 0，其中t为时间，x为位置，v是仅关于ρ的函数，ρ的取值范围为[0, ρmax]，这类模型被称为一阶宏观模型。
模型可进一步复杂化，包含多个偏微分方程，例如存在道路交汇点时，交汇点连接m条入路、n条出路，若假设车辆数守恒且无交通事故，模型方程需匹配交汇点的流量平衡条件。还可在基础方程中加入扩散项，例如?ρ/?t + ?(vρ)/?x = D?2(ρ^α)/?x2，其中D为扩散强度，α为非线性扩散系数，当α=1时，方程退化为带非线性平流的线性热方程。模型还可通过引入密度非线性项进一步扩展，例如Aw-Rascle-Zhang模型，也可加入其他附加条件，或构建相变模型。
多微分方程构成的网络流模型通常无法进行解析处理，需数值求解模型方程。但若模型方程数量较少，可尝试获得精确解，简单方程法（SEsM）是有效的求解工具。上述模型均基于确定性偏微分方程，采用交通的连续近似，忽略随机效应，大多数为非线性模型，线性模型也常被使用——因为非线性较弱时，线性模型的解析解能提供大量有效信息。多数模型包含大量方程，需数值求解；方程数量较少的模型可获得解析解，有助于厘清交通过程的关键关联，得到交通核心变量的实用关系。
7.2 网络通道流动的差分方程模型
时间t连续时，可采用微分方程建模通道中的物质流动；时间为离散时，可采用差分方程模型。基础模型将网络通道表示为包含N+1个节点的链，节点编号从0到N，每条边连接两个节点，首尾节点仅连接一条边，其余节点连接两条边。物质沿通道移动，同时可与通道外的网络节点、网络环境发生物质交换：节点i可与i-1、i+1节点交换物质，也可与通道外的网络节点交换，还可与网络环境交换，从通道节点流向网络节点或环境的过程称为泄漏，反向流动称为流入。
模型时间为离散等间隔，每个时间间隔内可能发生四类事件：物质留在原节点；物质移动到链的上一节点或下一节点；物质发生泄漏（流向通道外网络节点或环境）；物质发生流入（来自环境或通道外网络节点）。此外，通道节点间的流动过程中也可能发生物质的损耗或增益。
模型方程为uik+1= uik+ Δt [ai-1ui-1k+ ai+1ui+1k- (ai+ bi+ ci)uik+ di]，其中离散时间k=0,1,…,K，uik为k时刻第i个节点的物质量，其余参数含义与原始文献一致。
该一般模型在特定线性交换假设下，可推导出uik与概率分布的关联：定义随机变量X的概率分布P(X=i)=pi，可证明两个定理：第一，有限节点通道得到的分布可涵盖所有截断离散概率分布（X取值0,1,…,N）；第二，无限节点通道得到的分布可涵盖所有离散概率分布（X取值0,1,2,…）。该离散模型得到的分布可覆盖所有可能的离散值随机变量分布，包含卡茨分布、Ord分布、Kemp分布族等大量经典命名分布，可应用于人类迁移等问题的研究。
上述为线性离散时间网络通道流动模型，大流量场景下可采用非线性模型，也可纳入时变系数的随机元素。本节讨论的是系数恒定的稳态特例，可获得解析结果；一般情况下模型更为复杂，需开展数值研究。
8 示例2与3——社会过程确定性模型的解析与数值研究：流行度波传播模型
8.1 简单SIIRR流行度波模型的方程解析解
经典SIR流行病传播模型将人群分为三类：易感者S、感染者I、康复者R，模型方程描述三类人群数量的时间变化，β为传播率
