美式期权定价的Forward-Modeling方法：加性(Asset-Drift)与乘性(Multiplicative) HJM 表示

《Risks》：Forward-Modeling Approaches to American Option Valuation: Additive and Multiplicative HJM Representations

　　

摘要：本文引入一种类Heath-Jarrow-Morton(HJM)的前向建模(frame work)框架用于美式期权(American option)估值。与传统方法建模标的资产动态不同，研究人员建模到期期限索引的获益过程(gain process)之前向漂移(forward drift)，从而得到美式期权价值的两种无套利表示。第一种是加性模型(additive model)，美式期权价格等于当前获益值加上前向漂移的积分；该表示将早期行权溢价(early-exercise premium)直接嵌入，并给出最优停止法则(optimal stopping rule)的前向漂移刻画。第二种是乘性模型(multiplicative model)，通过前向率(forward rate)提供期权价值跨期限的无套利期限结构(term structure)，其思想类似于HJM利率理论；该模型虽不能判定早期行权边界，但适用于欧式期权价格曲线及其演化的建模。研究人员推导了两种表示的相应漂移限制(drift restrictions)、即期一致性条件(spot consistency conditions)及估值公式，并给出了数值算例。

论文解读：Forward-Modeling Approaches to American Option Valuation——基于HJM思想的加性与乘性美式期权前向定价框架

一、研究背景与意义

传统美式期权(American option)估值通常依赖偏微分方程(PDE)倒向求解、二叉树/三叉树格点法或最小二乘蒙特卡洛(LSMC, Longstaff-Schwartz 2001)等倒向递归算法，其实质是对折现获益过程之Snell包络(Snell envelope)的数值逼近。固定收益领域中Heath-Jarrow-Morton(HJM)框架则将建模对象由短期利率转向整条前向利率曲线(forward rate curve)，通过无套利漂移限制(drift restriction)保证一致性。已有股权衍生品文献多将HJM思想用于建模前向波动率或隐含波动率曲面(implied volatility surface, IVS)，未涉及含最优停止问题(optimal stopping problem)之美式期权本身。本文的创新在于将HJM哲学拓展至美式期权：不以标的资产S_t动态为原语，转而建模获益/价值过程之前向漂移(forward drift of the gain/value process)。加性表示直接关联继续持有溢价(continuation premium)与最优行权时刻；乘性表示给出期权价格跨期限的无套利演化，适用于欧式期权期限结构建模。论文发表于《Risks》。

二、主要关键技术方法

研究人员基于风险中性测度Q下完备连续时间金融数学模型，采用：(1)Snell包络理论刻画美式期权价值V_t=ess sup_τ∈Tt,TE^Q[e^-r(τ-t)G_τ| F_t]，其中G_t为获益过程(gain process)；(2)It?-Tanaka-Meyer分解获得美式看跌期权获益过程的漂移项(含标的资产局部时local time L^K_t(S))；(3)加性HJM型假设V_t^(T)=G_t+∫_t^Tα_t(u)du，推导无套利漂移条件α_t(T)=?/?T E^Q[V_t^(T)-G_t| F_t]及即期一致性条件α_t(t+)=lim_Δ→0+(V_t^(t+Δ)-G_t)/Δ；(4)乘性HJM型假设V_t^(T)=V_t^(t)exp(∫_t^Tf_t(u)du)，推导乘性无套利漂移条件及即期一致性；(5)数值实验：Cox-Ross-Rubinstein(CRR) 500步二叉树为基准，LSMC估计最优停止时刻，加性表示中局部时用Gaussian核近似，乘性模型从Black-Scholes欧式看跌价提取前向率并做单因子HJM随机演化模拟，市场校准基于AAPL看跌期权截面数据做保形样条拟合。

三、研究结果

2. Additive Model（加性模型）

研究人员假设获益过程服从加性It?扩散dG_t=μ_tdt+σ_tdW_t，证明美式期权价值可表为V_t^(T)=G_t+E^Q[∫_t^τ*μ_udu | F_t]（Lemma 1），由此引入前向漂移α_t(T)使V_t^(T)=G_t+∫_t^Tα_t(u)du（式7）。推导得到无套利漂移限制α_t(T)=?/?T E^Q[V_t^(T)-G_t| F_t]（Lemma 2，式10）及即期一致性α_t(t+)=lim_Δ→0+(V_t^(t+Δ)-G_t)/Δ（Lemma 3，式13）。最优停止时刻τ*=inf{u≥t : ∫_t^uα_t(s)ds=0}，即前向漂移累积至零时行权，将早期行权溢价嵌入积分项。对美式看跌期权G_t=(K-S_t)⁺，由Tanaka公式得dG_t=(-1_{{S< />}rSt+rK)dt+… dWt+1/2 L^Kt(S)d本地时项（式19），前向漂移αt(T)=E^Q[1{τ*>T}(-rST1{S< />}+rK)+1/2 lT(S,K) | Ft]（式20）。当早期行权永不最优（欧式情形），加性模型退化为经典Black-Scholes(BS)估值（Lemma 4）。}

3. Multiplicative Model（乘性模型）

假设严格正获益过程及价值过程具乘性形式V_t^(T)=V_t^(t)exp(∫_t^Tf_t(u)du)（式32），f_t(T)为前向率(forward rate)，满足d f_t(T)=β_t(T)dt+γ_t(T)dW_t（式34）。由无套利要求得漂移限制β_t(T)=∫_t^Tγ_t(u)γ_t(u∧T)du（Lemma 6，式36）及即期一致性V_t^(t)=G_t（Lemma 5，式35）。此模型描述V_t^(T)对期限T的依赖，可用于欧式期权期限结构建模与校准，但不含最优停止信息，无法独立确定美式行权边界。欧式情形下与BS框架一致（Lemma 8）。

4. Numerical Examples（数值算例）

Example 1(美式看跌—加性模型)：在BS假设下(S_t几何布朗运动，r=0.05, σ=0.2, K=100, T=1)，比较CRR 500步二叉树、LSMC及加性表示(局部时用带宽h=0.50 Gaussian核近似)。加性模型价格接近基准，偏差主要来自局部时数值近似及ATM附近误差。Example 2(带宽敏感性)：极小h致价格虚高(欠平滑方差大)，h∈[0.25,1.00]较稳定。Example 3(鲁棒性网格)：覆盖S₀∈{80,90,100,110,120}, T∈{0.25,0.5,1,2}, σ∈{0.1,0.2,0.3}，低波动短期限精度好，ATM长期限偏差略增。Example 4(期限敏感性)：ITM与OTM各期限吻合好，ATM长期限偏差略增(局部时近似累积误差)。Example 5(ATM误差分解)：LSMC停止规则误差仅~?0.0003，局部时项贡献均值≈0.7237，省略则误差达?2.53，确认ATM偏差主因是局部时数值处理而非停止规则。Example 6(欧式看跌—加性一致性)：加性表示还原BS价，验证Lemma 4。Example 7–8(欧式看跌期限结构—乘性模型)：由BS价提取前向率f₀(T)=? ln V^BS(T)/?T，重构曲线与BS完全一致；引入常前向波动率β=0.1做单因子HJM演化后曲线随机偏移且随T增大偏离加大，β越大偏离越显著，说明需校准成熟限依赖γ(T)。Example 9(市场校准—乘性模型)：用yfinance获取AAPL看跌期权截面(K=210≈S, 2026-04-18)，过滤后保形样条拟合V₀(T)并提取f₀(T)；历史一日前利率创新估算γ(T)呈短端大长端衰减；常γ代理致模拟曲线低估，表明需期限依存波动率函数。

5. Calibration to Market Data（市场校准）

乘性模型校准分两步：对观测期权报价清洗插值得光滑V₀(T)，数值微分得f₀(T)（式47–48）；前向率波动率γ(t,T)可由历史前向率序列样本方差、参数化形式或面板最小化残差平方和估计。加性模型因前向漂移α_t(T)依赖于未知最优停止边界τ*形成循环依赖，完整市场校准需迭代交替估计行权边界与前向漂移，本文仅做理论推导与受控数值说明。

四、结论总结（翻译自Conclusion）

本文发展了受HJM启发的美式及跨期限期权定价前向漂移框架，含两个互补表示：加性模型将美式期权价值表为当前获益加前向漂移积分，该积分即继续持有溢价并于最优行权时耗尽，给出了无套利漂移限制、即期一致性条件及与Snell包络的联系，数值实验表明其与LSMC及CRR基准基本一致，局部时项数值处理影响ATM区域精度；乘性模型通过类HJM漂移限制描述期权价格期限结构的无套利演化，虽不含最优停止信息但适用于欧式期权期限结构建模与情景分析，且与BS估值一致。二者分别将HJM范式拓展至含最优停止问题的股权衍生品——加性模型给出美式继续溢价的向前结构分解，乘性模型给出期权价格跨期限灵活建模工具。未来研究方向含基于市场数据估计加性前向漂移、多因子前向漂移动态、乘性前向波动率正则化校准及扩展至随机波动率/跳扩散/数据驱动市场校准。