《Mathematics》：On the Invariant Subspace Method for Nonlinear Second-Order Evolution Equations
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现有城市轨道交通时刻表优化模型主要采用以运营者为导向的目标，并假设与乘客相关的权重。本文提出了一种以乘客满意度为导向的时刻表优化框架，其中满意度权重通过确认性因子分析（CFA）和Cramér's V分析对从南宁轨道交通1号线439名乘客收集的调查数据进行经验推
现有城市轨道交通时刻表优化模型主要采用以运营者为导向的目标，并假设与乘客相关的权重。本文提出了一种以乘客满意度为导向的时刻表优化框架，其中满意度权重通过确认性因子分析（CFA）和Cramér's V分析对从南宁轨道交通1号线439名乘客收集的调查数据进行经验推导得出。七个与调度相关的服务属性被正式表示为时刻表决策变量的函数，建立了乘客感知与调度决策之间的直接联系。一个多目标模型最小化乘客不满意度、运营成本和滞留乘客比例的加权组合，并通过集成模拟退火与乘客流模拟模块的乘客满意度自适应调度启发式算法（PS-ADH）求解。案例研究结果表明，综合目标值改善3.78%，乘客不满意度降低3.25%，运营成本降低3.25%，滞留乘客减少27.4%。优化策略在所有10次随机初始化中一致选择（变异系数CV = 0.13%）。敏感性分析揭示了在成本权重处存在结构性突变，超过该阈值后，最优策略在服务质量上发生向成本最小化的质变。该框架为将乘客感知数据整合到新兴城市轨道交通系统调度中提供了一种可迁移的方法。
### 研究背景与问题
城市轨道交通系统的时刻表优化是提升运营效率和乘客体验的关键手段。然而，现有研究存在一个核心脱节：尽管乘客满意度被广泛视为多维度概念并通过调查实证研究，但时刻表优化模型大多采用以运营者为导向的目标函数，如最小化乘客总等待时间、运营成本或能耗，这些指标仅间接反映乘客体验，而非直接体现乘客感知。此外，模型中多目标之间的权重通常基于假设而非实证数据，导致优化结果可能与乘客实际偏好偏离。现有研究主要在大型成熟地铁系统中验证，缺乏对新兴城市轨道交通系统（如中等发展中国家城市线路）的适配性验证，这些系统中功能性服务属性（如发车频率和可达性）往往比拥挤度更敏感。因此，本研究旨在通过将经验推导的满意度权重直接嵌入调度优化模型，建立乘客感知与时刻表决策之间的数学联系，并在新兴城市轨道交通系统——南宁轨道交通1号线（NNRT 1）上进行验证。论文发表在《Mathematics》。
### 关键技术方法概述
研究人员在制定模型和算法时采用以下主要关键技术方法：
1. **乘客调查与权重推导**：在南宁轨道交通1号线（NNRT 1）上，对439名乘客进行结构化问卷调查，测量七个调度相关服务属性的满意度（使用五点李克特量表）和整体满意度。通过确认性因子分析（CFA）验证七维度测量模型的结构有效性（拟合指标：χ2/df = 3.12，RMSEA = 0.071，GFI = 0.91，CFI = 0.94，TLI = 0.92），然后应用Cramér's V分析量化每个属性与整体满意度之间的关联强度，并将V系数归一化为目标函数中的满意度权重。
2. **策略式时刻表优化模型**：将时刻表优化问题构建为多目标模型，目标函数包含三个分量——乘客不满意度（由七个服务质量指标加权求和，权重来自Cramér's V分析）、归一化运营成本（包含固定成本、距离成本和停站成本）和滞留乘客比例惩罚。决策变量为高层次调度策略变量（高峰/平峰发车间隔、短交路列车发车偏移、停站模式、种子列车部署水平），而非直接优化每个列车事件，从而降低搜索空间维度。
3. **乘客满意度自适应调度启发式算法（PS-ADH）**：基于模拟退火（SA）框架，集成四个邻域搜索算子（分别对应发车间隔调整、短交路偏移调整、停站模式切换、种子列车部署调整），并嵌入一个以分钟级OD需求矩阵为基础的乘客流模拟模块，用于计算每个候选时刻表下的服务指标和目标值。算法还包含稳定性增强机制，在SA接受步骤前过滤掉恶化关键服务指标（等待时间恶化超过3%或滞留乘客比例恶化超过5%）的候选解。
4. **全局最优性验证**：利用策略式编码将搜索空间缩减至288种组合（由4个高峰发车间隔候选 × 3个平峰发车间隔候选 × 4个短交路偏移候选 × 3种停站模式 × 2种种子列车开闭状态得出），通过穷举枚举验证PS-ADH解的质量，确认其对应全局最优解。
### 研究结果
#### 4.5 整体性能比较
通过PS-ADH优化后的时刻表相比基准时刻表，综合目标值（Z）从0.6043降至0.5815，降低3.78%。优化策略为：高峰和平峰发车间隔均为360 s，采用全站停模式，且停用种子列车服务。在十次随机初始化中，八次收敛到该全局最优组合，另两次收敛到次优组合（目标值0.5833，差距仅为0.18%），变异系数（CV）为0.13%，表明算法高度稳定。
#### 4.6 服务质量分析
七个服务质量指标中，平台等待时间（AA1）改善最为显著，从3.33 min降至2.53 min，降幅24.0%。下车时间（AA2）和上车时间（AA3）分别改善5.6%和6.2%。车内拥挤度（BA2）从0.222降至0.197。平均运行时间（BA1）从52.67 min增至54.00 min，平均停站次数（BA3）从24.43增至25.00，这是采用全站停模式的直接结果。基于乘客调查的权重结构显示，乘客对服务频率（BA4，权重γ_7=0.196）和服务覆盖范围（BA3，γ_6=0.157）最为敏感，而对拥挤度（BA2，γ_5=0.087）敏感度最低，因此优化后的时刻表通过压缩平峰发车间隔提升了乘客满意度。
#### 4.7 运营成本分析
优化时刻表运营成本为5,883,604 CNY，相比基准的6,080,995 CNY降低197,391 CNY（3.25%）。成本节约主要来源于两项：停用种子列车消除了其固定服务费用（c_f）及相关停站和运行成本；全站停模式简化了运营结构，减少了管理复杂性和调度不确定性。
#### 4.8 鲁棒性分析
十次独立运行的目标值范围在0.5815至0.5833之间，变异系数（CV）为0.13%。所有运行均优于基准（0.6043），且收敛轨迹快速稳定，前10–15次迭代即获得高质量解。三种策略组分（全站停模式、停用种子列车、平峰发车间隔360 s）在所有种子中完全一致；高峰发车间隔出现微小差异（均值为372 s，标准差25.3 s），但这是由于该维度目标景观平坦所致。
#### 4.9 敏感性分析
对算法参数（冷却率α和初始温度T_0）的敏感性分析显示，在所有测试配置下，均值目标值范围仅0.5814–0.5818，波动小于0.07%，表明算法参数不敏感。对成本权重ω_c的敏感性分析揭示了结构性突变：当ω_c≤3时，优化策略实现乘客不满意度与成本的平衡改善；当ω_c=5时，策略转为激进成本最小化，不满意度升至0.617，等待时间增至3.24 min，表明两个目标在策略空间存在竞争吸引域。对滞留惩罚系数ω_s的分析表明，当ω_s=3时滞留比例达到最低0.194%，进一步增加惩罚无法继续降低，表明策略空间已被充分探索。
#### 4.10 全局最优性穷举验证
对所有288种策略组合的穷举枚举确认：全局最优解为高峰发车间隔360 s、平峰发车间隔360 s、全站停模式、无种子列车部署（目标值0.5815）。仅16.7%的组合（48种）优于基准时刻表，凸显系统优化的重要性。所有前五名组合均一致采用全站停和停用种子列车，验证了这两个策略的鲁棒最优性。
#### 4.11 与贪婪启发式的比较
贪婪启发式（顺序独立选择每个变量）获得目标值0.5857，优于基准但劣于PS-ADH的0.5815。贪婪策略因先固定发车间隔为420 s再评估种子列车开关，未能发现同时压缩发车间隔（至360 s）与停用种子列车的联合效益，证明了联合多变量优化的必要性。
### 讨论与结论
#### 讨论要点
优化策略的稳定性表明，在新兴城市轨道交通系统中，通过时刻表重新设计即可实现乘客体验与运营效率的双重改善，无需基础设施投资或车队扩张。种子列车部署在NNRT 1需求条件下被证明是适得其反的，因为高峰断面流量低于单车容量上限，种子列车的成本（固定服务费、短交路准备、调度复杂性）超过了其带来的服务质量增益。平峰发车间隔压缩至360 s成为最高杠杆调度干预，反映了乘客调查中服务频率和服务覆盖范围权重最高的实证结果。敏感性分析中成本权重的结构性突变提醒运营者：若给予成本额外权重（ω_c≥5），优化策略将转向牺牲服务质量的成本最小化，因此权重设定必须谨慎。贪婪启发式比较进一步确认了联合优化相对于顺序选择的必要性。需求缩放实验表明，在0.5至2.0倍当前需求量的范围内，停用种子列车始终为最优，说明该结论并非当前低需求的假象，而是NNRT 1成本-容量权衡的结构性特征。
#### 研究结论部分翻译
本研究提出并验证了一个直接连接乘客感知与时刻表设计的框架，通过Cramér's V分析从南宁轨道交通1号线439名乘客的调查数据中获取经验满意度权重，并将其嵌入多目标轨道交通调度优化模型中，其中乘客不满意度被设为明确的首要目标。为处理容量约束下全运营时段优化的计算需求，研究人员开发了乘客满意度自适应调度启发式算法（PS-ADH），结合模拟退火与定制化邻域搜索算子及嵌入式乘客流模拟模块。本研究的主要结果总结如下：
- 综合目标值降低3.78%，乘客不满意度降低3.25%，运营成本降低3.25%，同时实现，表明乘客导向与成本导向目标并非必然冲突，这与先前以运营者为导向模型中隐含的权衡假设形成对比。
- 滞留乘客减少27.4%，证实了通过策略级调度调整即可显著改善容量充足性，无需额外投资车辆。
- 优化策略在所有十次随机初始化中一致选择（CV=0.13%），并通过穷举枚举所有288种策略组合确认为全局最优，提供了大多数基于启发式的时刻表优化研究所缺乏的解质量保证水平。
- 敏感性分析揭示成本权重ω_c处存在结构性突变，超过该阈值后服务质量恶化，为运营者提供了权重设定的定量依据，而非任意校准。
- 种子列车停用策略在0.5至2.0倍观测需求水平下始终最优，表明简化的全站停长交路时刻表对需求中等且空间分散的新兴线路具有鲁棒性。
本研究为参与轨道交通调度与服务的工程师、运营者、城市交通管理机构和铁路系统管理者提供了重要的实践意义。具体而言，研究结果支持以下循证决策：种子列车部署策略、平峰发车间隔优化，以及集成CFA-Cramér's V分析流程作为跨不同轨道交通网络评估乘客需求模式与运营绩效的可迁移框架。在南宁轨道交通1号线的验证表明，三个目标分量同时改善：综合目标值降低3.78%，乘客不满意度下降3.25%，运营成本减少3.25%，滞留乘客减少27.4%。优化策略——均匀360 s发车间隔、全站停模式、无种子列车部署——在十次随机初始化中一致选择（CV=0.13%），并通过穷举枚举288种策略组合确认为全局最优。敏感性分析揭示成本权重ω_c处存在结构性突变，超过该阈值后最优策略向成本最小化发生质变，强调了经验权重设定的重要性。与贪婪启发式的比较确认了联合多变量优化相对于顺序选择的必要性，需求缩放实验表明种子列车停用策略在0.5至2.0倍观测需求水平下始终最优。
