基于鲁棒指数Versoria的四元数自适应滤波器

《Digital Signal Processing》：Robust Exponential Versoria Based Quaternion Adaptive Filter

　　彭东明|何一刚 中国合肥工业大学电气工程与自动化学院，合肥230009 摘要：四元数自适应算法对于处理三维和四维信号至关重要。为提升这些滤波算法在非高斯噪声干扰环境下的性能，人们提出了鲁棒的四元数自适应滤波器。这类滤波器旨在抵御误差传感器处的异常干扰。为进一步增强四元数自适应滤波器的鲁棒性，我们提出了一种新的四元数指数Versoria函数作为鲁棒范数。基于此，我们开发出了广线性鲁棒四元数指数Versoria自适应滤波器。考虑到四元数代数的非交换性质以及多维扩展四元数统计的复杂性，这一进展具有重大意义。我们利用扩展四元数统计对QEV四元数自适应滤波器的稳态性能进行了分析。仿真结果证实了该广线性四元数模型具备更强的滤波能力。

引言：在自适应滤波领域，选择合适的代价函数至关重要。由于计算效率高、行为平滑、数学上易于处理以及在高斯噪声环境下的最优性，最小均方误差准则被广泛采用。标准的最小均方算法及其扩展形式如变步长最小均方算法和归一化最小均方算法都被广泛运用。然而，在处理三维信号时，实值模型在完全表征数据方面存在固有局限。为解决这一问题，四元数因其出色的表征能力而被用作三维和四元维信号的鲁棒建模框架。四元数传统上被应用于航空航天工程和计算机图形学中，用于建模三维旋转和方向，有效避免了向量代数带来的数值难题。

在某些研究中，引入了四元数最小均方算法和扩展四元数最小均方算法，用于基于四元数进行参数估计。尽管这些算法很有用，但在处理非圆形输入信号时效率较低。为解决这一缺陷，有人提出了广线性四元数最小均方算法，为处理非圆形四元数信号提供了统一的方法。自适应滤波通常需要计算导数。通过利用四维实向量与四元数向量之间的同构关系，有人引入了四元数梯度算子，它通过四元数反演将四元数值函数与四元组实函数联系起来。不过，这种算子缺乏乘积法则和链式法则，使得非线性四元数值函数的推导变得复杂。为解决这个问题，又提出了GHR算子，它在一般正交系统中利用四元数旋转。基于GHR算子得到的导数为将实数或复数代价函数的导数扩展到涉及四元数的函数提供了准确方法。

传统上为实值信号设计的自适应算法，由于基于高斯噪声环境的假设，往往容易受到误差信号中的严重干扰。然而在实际应用中，噪声分布往往偏离高斯假设，呈现轻尾分布（如均匀分布或二进制分布）或重尾非高斯特性。研究表明，在存在轻尾噪声的情况下，误差信号的更高阶统计量作为代价函数更为有效。近年来，基于信息论的学习方法取得了显著进展，尤其是那些基于最大互信息准则的方法，已被证明是鲁棒的学习方式。有人提出了基于广义最大互信息准则的自适应滤波器，它在多种噪声分布下都表现出良好的鲁棒性能。不过，基于该准则的算法存在较高的稳态失配问题。为解决这一缺陷，有人提出了新的广义改进Blake–Zisserman损失函数，它能为内点提供类似高斯分布的特性，而为外点提供类似均匀分布的特征。这一创新促使人们基于这种新损失函数设计了GMBZ自适应滤波器。尽管针对实值信号的鲁棒自适应滤波器研究已相当成熟，但其在四元数域内的研究仍处于初期阶段。

为有效应对四元数域中的脉冲噪声，我们提出了广线性鲁棒四元数指数Versoria自适应滤波算法。该算法采用了四元数指数Versoria函数，这一函数具有诸多优势：它对异常值不敏感，因而具备鲁棒性，同时其平滑性也有助于优化过程。我们利用GHR理论推导出了WL-QEV算法，并对其性能进行了分析。此外，为解决系统识别问题，我们通过仿真对比了所提出的WL-QEV算法与现有的四元数自适应滤波方法，重点分析了它们的均方偏差性能。

四元数代数：四元数由Q^∈Q表示，它是基于{1, ι, τ, κ}这组基对复数的扩展。一个四元数可表示为：Q^=Q^r+Q^iι+Q^jτ+Q^kκ=?Q^+ΩQ^，其中Q^r、Q^i、Q^j和Q^k均为实数。虚数单位ι、τ和κ遵循汉密尔顿乘法规则：ιτ=?τι=κ，τκ=?κτ=ι，κι=?ικ=τ，ι2=τ2=κ2=?1。四元数Q^的标量部分记为?Q^=Q^r，而向量部分或纯四元数部分则为ΩQ^=Q^iι+Q^jτ+Q^kκ。四元数运算Q^ω定义为：Q^ω=ωQ^ω?1，其中ω=|ω|(cos?+ω^sin?)。

广线性四元数指数Versoria算法：在本节中，我们基于广线性模型开发了WL-QEV算法。新的四元数指数Versoria代价函数定义如下：J?=2exp(β?βλ|ε(ζ)|2+1)?2，其中β和λ为形状参数，ε(ζ)=yd(ζ)??H(ζ)u(ζ)表示离散时间ζ处的误差，权重向量?(ζ)=[w1(ζ),w2(ζ),…,w4n(ζ)]T∈Q4n×1为估计值。此处，理想的四元数广线性模型yd(ζ)表示为：yd(ζ)=?optHu(ζ)+υ(ζ)。四元数输入向量为u(ζ)。

WL-QEV算法的分析：本部分推导了WL-QEV算法的EMSE理论表达式。为便于推导，我们做了以下假设：1.向量u(ζ)与υ(ζ)相互独立，且各分量也相互独立；2.滤波器的长度足够大，使得E{Ξ*(ε)Ξ(ε)}与E{uH(ζ)u(ζ)}相互独立，且α(ζ)服从高斯分布；3.输入噪声υ(ζ)的均值为零，协方差为δυ2，且与先验误差α(ζ)相互独立。此外，υ(ζ)为...

仿真：本节通过多种仿真验证了理论值，并展示了所提出的WL-QEV算法在广线性模型框架下的有效性。这些结果是通过对200次独立试验的数据进行平均得出的。

结论：四元数自适应滤波器被广泛用于处理三维和四元维信号。为在非高斯噪声环境中提升性能，人们设计了鲁棒的四元数自适应滤波器，使其能够抵御误差传感器处的意外干扰。本研究提出了一种新的四元数指数Versoria函数作为鲁棒范数，进而开发出了基于该函数的广线性鲁棒四元数指数Versoria自适应滤波器。