通过单次测量确定时间分数阶扩散波方程中的阶数及时变源项

《Mathematics and Computers in Simulation》：Identifying the order and a time-dependent source term in a time-fractional diffusion-wave equation by a single measurement

　　

Jianming Xu|Ting Wei

摘要

本文研究了一个含时间分数阶的扩散波方程的非线性逆问题，需要通过单点额外测量数据来反求分数阶参数$\alpha$以及随时间变化的源项$q\left(t\right)$。我们基于解的稳定性估计，证明了该逆问题的唯一性，并给出了正向算子的利普希茨连续性。为应对该非线性逆问题的病态性，采用了包含$H^1$惩罚项的正则化方法，同时研究了相应正则化解的存在性与收敛性。为高效求解该非线性逆问题，提出了结合加速线性化迭代算法（AM-ALIA）的交替最小化方法。该方法与分段线性有限元近似相结合，可同时反求出近似分数阶参数和时间源项。此外，一维和二维场景下的数值实验展示了所提方法的稳健性、精确度与计算效率。