利用圆锥形压头对弹性基底上的球体进行压入时，用于计算压入曲线的分析模型

《Mechanics of Materials》：Analytical model for indentation curve calculation at indentation of sphere on an elastic substrate by conical indenter

　　雅罗斯拉夫·科瓦日 | 弗拉基米尔·富伊斯
捷克共和国布尔诺，616 69，Technická 2896/2，布尔诺技术大学机械工程系固体力学、机电一体化与生物力学研究所

摘要
确定接触体的压痕曲线对于描述这类系统的行为以及通过压痕试验反推材料属性至关重要。尽管最常用的有限元方法较为复杂，且可应用于各种接触情况，但掌握解析表达式对于高效计算及推导更复杂的公式而言极为重要。本文旨在为三种接触体——圆锥形压头、球形颗粒或细菌，以及视为线性弹性半空间的基底——的压痕曲线推导出表达式。维度简化方法被扩展到多体接触场景，所推导的表达式与有限元方法及斯内登解的结果进行了比较。结果表明，只要满足其推导所用的假设条件，该模型就能精确描述系统的力学行为：在相对压痕深度为10%时，其与有限元方法结果的相对误差低于6%。随后，该模型被进一步推广，以纳入接触面间的径向位移效应以及不同的等效模量。此时，在相同相对压痕深度下，有限元方法结果的偏差降至2.1%。这些结果证实，该模型在保持简单解析形式的同时，与有限元方法计算的结果具有高度一致性。

引言
接触力学的主要目标之一便是建立位移与力（即压痕曲线）之间的关系，并描述接触体之间的接触压力。最早的相关研究由布辛涅斯克开展，他描述了轴对称接触体的问题与假设，并得出了形式极为复杂的解[1]。洛夫[2]在此基础上扩展了该解，用于圆锥形压头的压痕问题。赫兹[3]和斯内登[4]的成果则为压痕问题的解决做出了最重要贡献。赫兹推导出了描述两个椭球体之间接触的方程，这些方程可用于描述球面（近似为抛物面）与弹性半空间之间的接触。用抛物面替代球面是一种常见的计算假设，此外还有接触半径与球面半径之比较小以及变形为纯线性弹性等假设。斯内登首先基于与赫兹类似的假设[5]，推导出了圆锥形压头与线性弹性半空间接触时的关系，之后又针对一般轴对称压头推导出了相应公式[4]。由于压头形状的特殊性，斯内登的解能够将尖端处的奇异性纳入计算之中。

作为接触力学基础的两类解法在后续研究中经过多次修改以提高精度。例如，海伊[6]在圆锥形压痕问题中考虑了径向位移的影响，而在球形压痕问题中也进行了相关研究[7]。随着压痕试验的发展，尤其是纳米压痕试验的兴起，赫兹和斯内登所推导出的关系式的重要性愈发凸显。这种试验通常使用三棱锥形状的伯克维奇压头，而在进行计算及确定等效模量时，其形状常被替换为等效的圆锥形压头，因为后者与伯克维奇压头在投影接触面积方面的关系一致，同时计算中还会引入修正系数[8]。

此后，许多学者对弹性球体之间的接触进行了研究。邦达列娃[9]迈出了重要一步，他将球体在正常载荷作用下的变形解调整为有限形式的表达式。阿尔加托夫利用邦达列娃的公式解决了更为复杂的球形接触问题，他先推导出了单侧球形接触的解[10]，随后又得到了刚性球形压头将球形颗粒压入有限厚度基底时的三体接触问题的解[11]。阿尔加托夫进一步拓展了他的研究成果，计算了球体在波纹基底上的压痕情况，这使他能够模拟原子力显微镜对病毒或球形颗粒的压痕过程[12]。关于半空间更复杂行为的其它模型（如粘弹性、压头与半空间之间的摩擦等）可见于[13]。

以往的模型精度很高，能够计算整个球体的变形情况，但这使得数值计算工作量较大。这些模型通常是为球形压头的压痕问题而推导的。本文旨在为圆锥形压头作用于弹性半空间上的球形颗粒的压痕曲线预测建立一种简单的解析模型，该模型可用于预测颗粒[14]、细菌[15]、肿瘤细胞或白血病细胞[16]的压痕行为，而针对这些对象，斯内登模型通常需要通过经验方式进行修正[17]。尽管阿尔加托夫的模型更为复杂，能够计算颗粒的变形场，但本文提出的模型提供了封闭形式的表达式，大大降低了计算压痕曲线所需的计算量。这类简化的解析关系可用于颗粒或细胞纳米压痕的理论研究，也有助于确定纳米压痕中的未知参数，如等效模量。

在纳米压痕技术中，人们利用解析关系从压痕曲线中确定杨氏模量，这一过程是基于将卸载曲线（因卸载过程在初始阶段以弹性为主，故被选用）用已知方程进行近似，然后将该方程的导数作为接触刚度来计算。多尔纳和尼克斯[18]首次提出了这种近似方法，他们用直线近似卸载曲线的前三分之一。目前最常用的方法是奥利弗-法尔分析方法[19]、[20]，该方法采用特定的幂律近似形式。奥利弗-法尔分析同样适用于球形压头的压痕问题，这与菲尔德和斯韦恩[21]推导的方法类似。

近年来，随着接触力学的发展，人们从斯内登的表达式中衍生出了维度简化方法（MDR）[22]。尽管这是一种相对较新的方法，但它已在许多轴对称接触问题中证明了其有效性，尽管存在一些局限性，但这些局限性在本文的研究范围内并非关键问题。MDR可用于描述轴对称物体之间的接触，通常是轴对称压头与弹性半空间之间的接触。该方法的多种扩展形式由相关研究者提出[24]、[25]，在本文中，该方法将被稍作修改，用于描述圆锥体与位于线性弹性半空间上的球体之间的接触。这种接触涉及两种接触情况：第一种是球体与半空间之间的接触，属于典型的赫兹接触；第二种是圆锥体与球体之间的接触，这种接触类似于斯内登的圆锥形压痕问题，但还存在曲面效应的影响（见图1）。

本文将通过修改MDR方法，为圆锥体、球体与弹性半空间系统中的接触关系推导出解析表达式，并阐述压痕曲线的确定方法。所推导出的关系式将通过有限元方法进行验证，同时模型中也会纳入径向修正因素。该模型的主要优势在于它基于解析表达式，因此使用起来十分简便，便于理解各物理量之间的基本关系，而且能够以不同于对斯内登模型进行修正或采用有限元方法的方式计算压痕曲线。该模型所依据的主要假设包括材料为线性弹性材料、圆锥体高度较大、基底被建模为半空间以及接触面积较小。本文的结构分为模型推导部分（其中阐述了模型的假设条件）、通过有限元方法对模型进行验证，以及进一步扩展模型以涵盖不同压头和基底材料并纳入径向位移的影响。

方法
在纯粹弹性变形、位移较小（接触半径与球面半径之比较小）、弹性半空间表面为平面、圆锥形压头的高度远大于压痕深度（理想情况下为无限高；至少为压痕深度的100倍[26]）等假设条件下，通过MDR方法推导出了相应的解析表达式。在最初的计算中，假设圆锥形压头与半空间所用的材料相同。

所提模型的验证
实验结果表明，两种接触情况都应纳入计算范围，因为压头位移会在两种接触之间分配。变形后的形状如图7所示。通过有限元计算得出了反作用力，将其数值与斯内登解的结果进行了比较（见图8），在斯内登解中，压痕力是通过方程(21)计算得出的。结果表明，斯内登解显著高估了压痕力，这主要由三个原因造成。

方法的推广
该模型是在两种接触情况下的等效模量相同且不存在径向位移的假设基础上推导出来的。通过类似之前的推导方法，可以在计算中纳入这些模量的不同值（, ）以及径向位移的修正因子（, ）。此时，方程(8)、(9)、(10)、(11)、(12)中的表达式需要修改为方程(22)、(23)、(24)、(25)、(26)。系数与赫兹理论中推导出的值相同，而则可根据具体情况确定。

结论
本文提出了一种用于计算由圆锥形压头、球形颗粒及弹性基底构成的系统压痕曲线的解析模型。该模型是通过扩展MDR方法、斯内登解以及赫兹理论而得出的。为验证模型的准确性，将其结果与有限元计算结果进行了对比。该模型在低压痕深度下具有极佳的吻合度，在较高压痕深度下也能保持较好的一致性，不过在该深度下模型的某些假设条件开始产生影响。

CRediT作者贡献说明
弗拉基米尔·富伊斯：写作——审稿与编辑、监督、方法论、资金获取、正式分析、概念构建。雅罗斯拉夫·科瓦日：写作——审稿与编辑、原始草稿撰写、可视化、验证、软件应用、方法论、研究实施、概念构建。

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在撰写本文过程中，作者们使用了ChatGPT来协助语言编辑和语法校正。在使用该工具后，作者们对内容进行了必要的审核和修改，并对最终发表文章的内容承担全部责任。

利益冲突声明
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致谢
本研究得到了捷克科学院热力学研究所的机构支持，项目编号为RVO: 61388998。