《Mathematics》：Dual Connected-Image Contractions for a Pair of Mappings in Directed Graph Metric Spaces with Applications
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该文引入一类新的压缩条件，称为双重连通像压缩，用于定义在具有有向图的度量空间上的一对自映射。此概念通过图结构融入两个映射之间的相互作用，从而扩展了连通像压缩的概念。通过运用一类辅助函数，在该广义压缩框架下建立了公共不动点的存在性与唯一性结果。所提出的方法不仅统
该文引入一类新的压缩条件，称为双重连通像压缩，用于定义在具有有向图的度量空间上的一对自映射。此概念通过图结构融入两个映射之间的相互作用，从而扩展了连通像压缩的概念。通过运用一类辅助函数，在该广义压缩框架下建立了公共不动点的存在性与唯一性结果。所提出的方法不仅统一并推广了文献中若干已知结果，还为处理非线性问题提供了更大的灵活性。作为应用，将理论结果应用于一类具有非局部积分边界条件的非线性分数阶微分方程，其中通过将问题重构为等价的积分方程并运用所发展的公共不动点框架，建立了解的存在性。
**研究背景与问题**
不动点理论为证明科学与工程中频繁出现的非线性方程解的存在性提供了强有力的框架。该理论在研究分数阶微分方程中尤为重要，此类方程用于描述具有记忆效应和非局部行为的过程。此外，不动点方法广泛应用于常微分方程的分析，这些方程模拟气候变化和农业系统等实际现象。随着智慧城市发展、经济系统和农业管理等现代应用日益复杂，需要稳健的数学工具来确保这些模型是适定且可解的。在此背景下，压缩型条件的演进在扩展不动点结果的适用性方面发挥了关键作用。
将有向图结构融入度量空间已成为不动点理论中一个重要且活跃的研究领域。通过在度量空间上配备有向图，可以通过将经典压缩条件限制为通过图连接的点对来细化这些条件。这种方法允许考虑元素之间的底层关系结构，在存在诸如序、依赖性或网络连接等额外信息的应用中尤为有用。Jachymski的基础性工作引入了具有图的度量空间中的压缩原理，这是巴拿赫压缩原理的一个重要推广。该框架此后得到了广泛应用和扩展，为在更具结构化的环境中研究不动点问题提供了灵活的工具。
受这一基于图的框架启发，后续研究集中于开发更能反映映射与图结构之间相互作用的新型压缩。在此背景下，Chaichana等人提出了连通像压缩的概念，该概念确保映射保持图的某些连通性性质，同时满足适当的压缩条件。这一概念已被证明在将不动点结果扩展到更广泛的背景（包括b-度量空间）方面有效，并已成功应用于微分方程和积分方程的研究。这些发展凸显了将空间的几何性质与图诱导的结构约束相结合的重要性。
**研究开展与核心结论**
研究人员通过引入一种称为双重连通像压缩的新型压缩条件来扩展这些思想，该条件用于一对自映射。此概念旨在捕捉基于图的度量框架内两个映射之间的相互作用，从而推广连通像压缩的概念。该方法结合了一类辅助函数，以提供更灵活且广义的压缩条件。在此设定下，研究人员建立了映射对公共不动点的存在性和唯一性。此外，研究人员证明了其结果可应用于分数阶微分方程，说明了所提出框架在分析涉及非局部算子和复杂动态行为的问题中的有效性。
**关键技术方法**
本研究运用的主要技术方法包括：第一，构建对偶连通像集及其传递性概念，将单个映射的连通像集推广至映射对情形；第二，引入含辅助函数φ∈Φ的广义压缩条件，通过多个距离表达式的最大值建立收缩性估计；第三，利用偶奇分裂序列追踪交替迭代下映射的行为并保持图结构；第四，建立性质E刻画图结构在收敛序列极限下的行为；第五，将分数阶边界值问题转化为等价的沃尔泰拉型积分方程，在完备度量空间C([0,1],R)中应用不动点框架。样本来源为Green函数估计式(10)中的连续函数空间，其中涉及Riemann-Liouville分数阶导数
RLD
α。
**研究结果**
**偶奇分裂序列的图保持性**。设(X,d,G)满足初始假设，若F(f,g)为具有传递性的对偶连通像集，则由某x
0∈X生成的偶奇分裂序列{x
n}满足：对所有n≥0，当n为奇数时(x
n,x
0)∈E(G)；当n为偶数时(x
0,x
n)∈E(G)。该结果通过归纳法和对偶连通像集的定义得出，表明图结构在交替迭代下得以保持。
**公共不动点的序列刻画**。在相同结构下，若(f,g,F(f,g))为对偶连通像压缩且F(f,g)具有传递性，若存在偶奇分裂序列{x
n}和某k∈N使得d(x
k,x
k+1)=d(fx
2n,gx
2n+1)，则必有d(x
k,x
k+2p+1)=0。该引理通过对指标k的奇偶性分情形讨论，运用压缩条件的反证论证，建立了序列收敛到公共不动点的判别准则。
**距离序列的单调性**。在上述条件下，若存在偶奇分裂序列{x
n}使得对所有n∈N有d(x
n+1,x
n+2)>0，则序列{D
n}为非增序列，其中D
2n=d(x
2n+1,x
2n+2)，D
2n+1=d(x2n+2,x2n+3)。该结果通过对压缩条件直接推导得出，排除了距离序列递增的可能性。
**公共不动点存在唯一性定理**。这是本文的核心定理。在(X,d,G)上，若(f,g,F(f,g))为满足性质E的对偶连通像压缩，且F(f,g)为具有传递性的对偶连通像集，则集合并集∪x∈CF(f,g)CF(x)非空。此外，若存在x∈X使得(x,x)∈E(G)，则集合CF(f,g)恰含一个元素。证明分为存在性和唯一性两部分：存在性部分通过构造迭代序列，利用Dn的单调有界性得其收敛于0，再运用引理6的Cauchy判别准则证明序列的Cauchy性，进而由完备性得极限点，最后通过性质E和压缩条件验证该点为公共不动点；唯一性部分直接由引理1的结论得出。
**单映射推论**。作为上述定理的直接推论，当g=f时，对偶连通像集自然退化为连通像集，从而得到单映射情形的不动点结果。
**验证性实例**。在一维欧氏空间子集X=[0,+∞)上，定义特定自映射f和g，构造有向图G，通过三步验证说明定理1各条件的可满足性：第一步验证对偶连通像压缩条件，通过直接计算距离比值确认压缩性；第二步验证性质E，利用序列收敛的保号性构造子序列；第三步验证对偶连通像集的传递性，通过不等式方向的保持性论证。最终确认f和g存在唯一公共不动点x=0。
**分数阶微分方程应用**
**辅助定义与结构准备**。定义函数族Γ，其元素θ满足 four specific conditions regarding inequalities of function values. 对每一θ∈Γ，关联有向图Gθ，其顶点集为X2，边集由满足θ条件的点对构成。在此框架下，可证集合F(T,S)为具有传递性的对偶连通像集，且对(T,S,Gθ)满足性质E。
**积分算子的压缩性**。考虑空间C([0,1],R)及其上由(11)和(12)定义的积分算子T和S。在条件Λ下——即对任意x,y∈C([0,1],R)及所有t∈[0,1]，满足特定积分不等式——可证(T,S,F(T,S))构成对偶连通像压缩。证明利用Green函数的估计式(10)，通过积分估计和辅助函数φ的选取，将微分方程的系数条件转化为算子压缩条件。
**解的存在性定理**。在上述条件下，所有公共不动点的并集非空。特别地，若存在x∈C([0,1],R)使得(x,x)∈E(Gθ)，则算子T和S存在公共不动点。该结论直接由定理1结合引理7和引理8得出，从而保证了非线性分数阶问题(6)和(7)存在公共解。
**讨论与结论**
本文引入了称为双重连通像压缩的新压缩类，用于有向图上度量空间中一对自映射。该框架通过底层图结构融入两个映射之间的相互作用，扩展了连通像压缩理论。结合适当的辅助函数类，建立了公共不动点存在唯一性的充分条件。所得结果推广并统一了文献中的若干现有结果，为基于图的度量空间中公共不动点问题的研究提供了更广泛的框架。
所发展理论的适用性通过具有非局部积分边界条件的非线性分数阶微分方程类得到了证明。通过将分数阶边界值问题重构为等价的积分方程，利用本文建立的公共不动点结果获得了解的存在性。该应用说明了所提出方法的有效性，并表明其可进一步扩展至其他非线性和分数阶问题类别的潜力。
