水平对流和内热对流的终极态

《Journal of Fluid Mechanics》：Ultimate regimes in horizontal and internally heated convection

　　

研究人员推导了水平对流(HC)和纯内热对流(IHC)中终极态的渐进模型，类比于研究人员最近(2024)对Rayleigh–Bénard对流(RBC)终极态模型的扩展。为了推导HC和IHC的相应模型，研究人员将湍流边界层关系与这两个系统的精确耗散平衡相结合。对于HC，所得标度关系与Siggers等人(2004 J. Fluid Mech. vol. 517, 55–70)的严格输运界一致。对于纯IHC，它们与Wang等人(2021 Geophys. Res. Lett. vol. 48, e2020GL091198)的精确HC–IHC平衡类比以及等温平板构型中对流通量不对称性的严格界(Arslan等人2021 J. Fluid Mech. vol. 919, A15)一致。RBC与HC/IHC的主要区别在于，在后两种情况下，全局动能平衡不包含额外的响应因子(HC中的无量纲对流通量或IHC中的倒数体温度)，而RBC中则包含。因此，对于固定的Prandtl数Pr，HC和IHC的终极态标度指数均为1/3，而非RBC中的1/2。

**背景与问题**
热对流的终极态对应于极强热驱动下边界层从层流向湍流转变、全局热输运标度律发生改变的状态。Rayleigh–Bénard对流(RBC)作为湍流热输运的经典模型，其终极态标度指数长期存在争议，而Grossmann–Lohse (GL)理论及近期Shishkina & Lohse (2024)的模型已给出与严格数学上界一致的预测。水平对流(HC)和内热对流(IHC)是RBC的两个重要推广：HC中加热与冷却施加在同一水平边界的不同部分，适用于大尺度地球物理流动；纯IHC中流体受到体积加热而上下边界等温，其全局响应为平均体温度和雷诺数。尽管已有经典层流标度律和严格上界（如HC的Nu~Ra^1/3界），但这两类系统的终极态标度律尚未被统一建立。本研究旨在借鉴RBC的终极态模型，通过结合湍流边界层关系与系统特定的精确动能平衡，推导HC和纯IHC的终极渐进标度律，填补这一理论空白。

**研究内容与结论**
研究人员将RBC终极态模型中的湍流边界层关系（Landau型涡黏性闭合、摩擦雷诺数Re_τ与Nu、Re的通用关系）保留，仅将全局动能平衡替换为HC和IHC的精确形式。对于HC，其动能平衡中不含Nu因子，导致固定Pr下终极标度指数为1/3（而非RBC的1/2），与Siggers等人的严格上界一致；对于纯IHC，利用HC–IHC精确平衡映射（Ra?Rr，Nu?Δ?^?1），得到相同的1/3指数，并满足Arslan等人对通量不对称性的约束。由此导出HC和IHC的终极态由四个子区域组成：低Pr分支IV'_?和高Pr分支IV'_u（均为1/3指数），以及继承自GL相图的亚稳态分支II'_?和III'_∞。过渡条件由剪切Reynolds数临界值和Friedrichs不等式确定，估计临界Rayleigh数约10¹⁴–10¹⁷。该研究发表在《Journal of Fluid Mechanics》。

**主要关键技术方法**
1. **湍流边界层闭合**：采用Landau型涡黏性假设，定义摩擦速度u_τ与涡黏性ν_τ、κ_τ的比例关系（ν_τ ~ u_τz Pr^ζ，其中ζ=0 (Pr?1)或ζ=?1/2 (Pr?1)），并推导出通用关系Nu ~ Pr^ζ+1Re_τ/log(Re_τ)、Re ~ Pr^?ζRe_τlog(Re_τ)及动能耗散率ε_u ~ (ν³/L⁴)Pr^?ζRe_τ³log(Re_τ)。
2. **精确耗散平衡**：利用HC和IHC的精确动能平衡（HC: ε_u ~ (ν³/L⁴)Ra Pr^?2；IHC: ε_u ~ (ν³/L⁴)Rr Pr^?2），替代RBC中含Nu因子的平衡式。
3. **渐近匹配与标度分析**：通过将边界层关系与动能平衡联立，消去Re_τ并代入Pr^ζ的分段形式，导出终极标度律；进一步结合临界Reynolds数条件（Re_s ~ Re^1/2）和Friedrichs不等式，确定相邻子区域的过渡斜率和临界Rayleigh数估计。
（注：无样本队列来源，基于理论推导与已有严格界。）

**研究结果**
**1. Introduction**
通过介绍RBC终极态模型的进展（Shishkina & Lohse 2024），指出HC和IHC的终极态尚未被系统研究；HC已有严格界Nu?Ra^1/3 (Siggers等人2004)，纯IHC已有HC–IHC映射关系 (Wang等人2021) 和通量界 (Arslan等人2021)，但缺乏基于湍流边界层的渐近模型。

**2. Wall-bounded turbulent flows**
回顾湍流边界层关系：基于Oberbeck–Boussinesq近似，从时间-面积平均的动量和温度方程出发，定义摩擦速度u_τ、Nusselt数Nu和涡黏性ν_τ、κ_τ，采用Landau型闭合得到通用公式(2.5)–(2.6)，并指出RBC中这些关系与含Nu的动能平衡(2.7)结合给出1/2指数。

**3. Horizontal convection**
**3.1 Classical regime and rigorous constraints**：回顾HC经典GL模型及其标度分支（低Pr: Nu~Pr^1/10Ra^1/5；高Pr: Nu~Ra^1/4），以及Siggers等人的严格上界Nu?Ra^1/3。
**3.2 Ultimate branches**：将湍流边界层关系与HC动能平衡(3.3)（ε_u~RaPr^?2）结合，推导出终极标度律(3.5)，进而得到两个终极分支IV'_? (Pr?1): Nu~Pr^1/3Ra^1/3[log Ra]^?4/3, Re~Pr^?2/3Ra^1/3[log Ra]^2/3；IV'_u (Pr?1): Nu~Pr^?1/3Ra^1/3[log Ra]^?4/3, Re~Pr^?1/3Ra^1/3[log Ra]^2/3。通过匹配得出相邻子区域II'_?和III'_∞，以及过渡条件Pr~Ra^1/2。结果表明终极态指数1/3与严格界一致。

**4. Internally heated convection**
**4.1 Classical regime and rigorous constraints**：定义纯IHC的控制参数Rr和响应量Re、Δ?，给出精确耗散平衡(4.3)及HC–IHC映射(4.4)（Ra?Rr，Nu?Δ?^?1）。回顾经典GL分支（低Pr: Δ?~Pr^?1/10Rr^?1/5；高Pr: Δ?~Rr^?1/4）。Arslan等人的严格界针对竖直对流通量Φ而非Δ?，但表明Φ有界（≤1/2）。
**4.2 Ultimate branches**：利用映射与HC相同推导，得到IHC终极标度律(4.5)，进而分支IV'_? (Pr?1): Δ?~Pr^?1/3Rr^?1/3[log Rr]^4/3, Re~Pr^?2/3Rr^1/3[log Rr]^2/3；IV'_u (Pr?1): Δ?~Pr^1/3Rr^?1/3[log Rr]^4/3, Re~Pr^?1/3Rr^1/3[log Rr]^2/3。相邻子区域II'_?和III'_∞及过渡条件Pr~Rr^1/2亦从匹配得到。强调纯IHC与源-汇对流（可产生1/2指数）的本质区别。

**讨论与结论**
**讨论**：研究的核心发现是HC和纯IHC的终极态指数均为1/3（固定Pr），源于其动能平衡中缺少Nu因子。该指数与HC的严格界完美匹配，且通过HC–IHC映射自然延伸至纯IHC，前提是动能平衡中的通量因子Φ为O(1)。与源-汇对流（如Kazemi等人2022）不同，纯IHC中净生成热必须穿越边界层，因此标度律受限于边界层湍流特性。过渡到终极态的条件由剪切Reynolds数临界值（约200–500）估计，对应临界Ra_*约10¹⁴–10¹⁷。需注意该估计基于非正常非线性转变，实际受几何、噪声等影响。在Oberbeck–Boussinesq近似外，物性变化和可压缩性会修正细节，但定性机制不变。

**结论翻译**：总结而言，HC和纯IHC中的终极态由四个子区域组成：两个具有固定Pr指数1/3的终极分支，以及两个继承自GL型相图的分支。在此意义上，研究人员近期对RBC的重新表述(Shishkina & Lohse 2024)并不局限于RBC；相反，它提供了一种通用方法：一旦已知湍流壁面律，关键成分便是相应对流问题的全局动能平衡。