关于全纯迭代函数系边界动力学的注记

《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》：A note on the boundary dynamics of holomorphic iterated function systems

　　

研究人员考虑单位圆盘D上全纯自映射所构成之迭代函数系（iterated function system, IFS）的边界动力学（boundary dynamics）。主要结果给出了一个充分条件，保证左迭代函数系（left iterated function system）Fn=fn°fn?1°?°f1在单位圆盘内部之动力学行为可延拓至单位圆周T=?D。该结果将 Bourdon、Matache 与 Shapiro 所得经典 Denjoy–Wolff 定理之推广推广至迭代函数系情形。为此研究人员修正了 Hardy 空间（Hardy space H2）上复合算子（composition operator Cf）之 Hardy 范数估计，并结合一种用椭圆 M?bius 变换（elliptic M?bius transformation）扰动左迭代函数系之新技术。

论文解读：《A note on the boundary dynamics of holomorphic iterated function systems》

研究背景与动机

经典 Denjoy–Wolff 定理描述了单全纯自映射 f:D→D迭代序列 fn在 D中的收敛性。Bourdon、Matache 与 Shapiro 及 Poggi-Corradini 将其推广至边界——对几乎处处 ζ∈T，径向极限 fn(ζ)收敛至内部吸引不动点。近年 Abate、Short、Christodoulou 及 Benini 等人对多于一个映射之复合（即迭代函数系，特别是左迭代函数系 left iterated function system Fn=fn°?°f1）给出若干收敛充分条件，但尚未有与 Denjoy–Wolff 定理完全类比之结论，且边界（T）上之动力学能否由内部收敛推出亦无一般结果。Benini 等人此前给出之条件仅适用于 Fn(z)"逃逸"至边界之情形，不适用于 Fn→z0∈D之椭圆（内点）情形。本文旨在填补此空白：给出当左迭代函数系局部一致收敛至 D内常数时，边界径向极限也几乎处处收敛至同一常数之充分条件的证明，可视作 Benini 等人结果之"内点（elliptic）补伴"。

本文发表于 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society。

关键技术方法

作者采用以下主要技术路线：(1) 利用 Hardy 空间 H2（Hardy space）上复合算子 Cf(g)=g°f之范数估计，特别是 Nevanlinna 计数函数（Nevanlinna counting function Nf(w)）之变式及 Littlewood 不等式；(2) 引入单位圆盘双曲度量（hyperbolic metric d(z,w)）与 Schwarz–Pick 引理分析全纯自映射之压缩性质；(3) 构造椭圆 M?bius 自同构（automorphism of D）序列 {ek}对原始迭代块 ?k=fnk+1?1°?°fnk进行扰动，使扰动后 ?k=ek°?k°ek?1满足 ?k(0)=0，从而可在 H02={f∈H2:f(0)=0}上应用复合算子压缩估计；(4) 借助测度论引理（Lemma 3·3，Shapiro）控制面积积分，结合单调收敛定理证边界点列平方可和性，推得 a.e. 收敛。

研究结果

2. Preliminaries（预备知识）

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  2·1 Hardy spaces：定义 H2范数 ∥f∥2=(2π1∫T∣f(rζ)∣2d?(ζ))1/2及边界积分形式，?为单位圆周上 Lebesgue 概率测度。给出 Littlewood–Paley 恒等式 ∥f∥22=∣f(0)∣2+2∫D∣f′(z)∣2log(1/∣z∣)dA(z)。
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  2·2 Composition operators：定义 Cf:H2→H2, Cf(g)=g°f，由 Littlewood 从属原理知其有界，∥Cf∥≤(1+∣f(0)∣)/(1?∣f(0)∣)，当 f(0)=0时 ∥Cf∥≤1。引入 Nevanlinna 计数函数 Nf(w)=∑z∈f?1({w})log(1/∣z∣)（除去 f(0)）及变量替换公式 ∥Cf(g)∥22=∣g(f(0))∣2+2∫D∣g′(w)∣2Nf(w)dA(w)。给出 Nf(w)之边界积分表示及 Littlewood 不等式 Nf(w)≤log∣w?f(0)1?wf(0)∣。
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  2·3 Hyperbolic geometry：给出单位圆盘双曲度量 d(z,w)=21log1?∣1?wzz?w∣1+∣1?wzz?w∣，Schwarz–Pick 引理 d(f(z),f(w))≤d(z,w)，等号成立当且仅当 f为 D之自同构（automorphism）?aθ(z)=eiθ1?azz?a。

3. Proof of the main result（主要定理证明）

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  Theorem 1·1（Main Theorem）：设 {fn}为 D上全纯自映射，Fn=fn°?°f1局部一致收敛至 z0∈D。若存在子列 {fnk}及可测集 Ek?T使 ∣fnk(ζ)∣<1（即非内函数 inner function）对 ζ∈Ek成立，且 limsupk?(Ek)>0，则对 ?-a.e. ζ∈T有 Fn(ζ)→z0（径向极限意义下）。
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  通过共轭 ψ0(z)=1?z0zz?z0化归 z0=0。取块 ?k=fnk+1?1°?°fnk，可要求 ?k(D(0,1/2))?D(0,1/2)，?k→0局部一致且 ∣?k(ζ)∣<1/2于 Ek。构造自逆椭圆 M?bius 变换 ek使 ?1=e1°?1，?k=ek°?k°ek?1满足 ?k(0)=0。
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  Claim 3·1：利用 ∣ek?1(Ek)∣有正下界及 ?k在 ek?1(Ek)上取值模小于某 r0<1，证得存在 r1,δ∈(0,1)使 N?k(w)≤δlog(1/∣w∣)对 r1≤∣w∣<1成立。
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  Claim 3·2（借助 Lemma 3·3）：由 Claim 3·1 及 Littlewood–Paley 恒等式得 ∥C?k∣H02∥≤ν<1一致成立。
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  由此推出 ∥ek°Fnk+1?1∥2≤∥Cf∥?νk，故 ∑k∥ek°Fnk+1?1∥22<∞，由单调收敛定理得 ∑k∣ek°Fnk+1?1(ζ)∣2<∞a.e.，从而 ∣ek°Fnk+1?1(ζ)∣→0a.e.。再结合 fm°?°fnk+1(0)→0及双曲度量 Schwarz–Pick 估计得 Fm(ζ)→0a.e.，即定理结论。

讨论与结论

研究表明：只要左迭代函数系 {fn}之复合 Fn局部一致收敛至 D内一点 z0∈D，且无穷多个成员（沿某子列）在 T上具有正测度集合上模严格小于 1（即含非内函数 inner function 之无限子列且使边界径向值真正进入内部），则边界上之径向极限序列 Fn(ζ)对 a.e. ζ∈T也收敛至同一 z0。此结果推广了 Bourdon–Matache–Shapiro 关于单映射 Denjoy–Wolff 定理之边界推广，并与 Benini 等人处理 Fn趋于边界情形之结论互为补充，共同阐明左迭代函数系边界动力学与内部动力学之一致性条件。必要条件之讨论（全为内函数或仅有有限个非内函数时结论失效）亦表明文中所设"存在正测度非内值子列"本质上不可去除。

结论翻译：

设 (fn)是 D上全纯自映射序列使得左迭代函数系 Fn=fn°fn?1°?°f1局部一致收敛至常数 z0∈D。假设存在子列 (fnk)?(fn)及 Lebesgue 可测集 Ek?T满足 ∣fnk(ζ)∣<1对所有 ζ∈Ek成立且 limsupk?(Ek)>0，则序列 (Fn(ζ))对 Lebesgue 几乎处处的 ζ∈T收敛到 z0。