基于有向图的多次月球飞掠对天平动点轨道的低能量转移

《Acta Astronautica》：Low energy transfer to the libration point orbits with multiple lunar flybys based on the directed graph

　　王月波|王亚民|余慧昌|张永和|戴鸿华|魏彩生
中国科学院微小卫星创新研究院，上海，201203，中国

摘要
摇摆点轨道在各种地月空间任务中得到广泛应用。传统设计方法在规划前往不同摇摆点轨道的转移路径时，需通过非线性方程的解空间反复搜索与修正，从而导致大量冗余计算。本文基于有向图构建了一种端到端的框架，用于设计未来的摇摆点轨道任务。文中引入了“月间转移数据库”作为多个月球飞掠转移路径设计的关键组成部分。在有向图中，月间转移弧段充当中间节点，而地球出发阶段为源节点，摇摆点捕获阶段为汇节点。边权重则通过带动力量的月球飞掠来估算。对于低能量直接重入轨道转移，地球出发阶段和直接重入轨道捕获阶段分别通过“v-无穷匹配法”和拉伸方向法确定。初步轨迹可通过路径查找算法确定，随后再通过B平面定位和正则化多射击方法进行优化。可行的解决方案通常需要2至4次月球飞掠，最优解所需的总推力为3.1523公里/秒。此外，该设计框架还在低能量向近直线环形轨道的转移中得到了验证。最后，还设计了以月球探测器为首要任务的、前往多个摇摆点轨道的多目的地共享轨迹，证明了该框架的适用性与可重复使用性。

引言
在三体系统中的摇摆点轨道已在许多高价值空间任务中发挥重要作用，如中继通信、科学观测以及深空站建设[1]、[2]、[3]。随着NASA阿尔忒弥斯计划[4]和中国航天运输系统的发展[5]，未来地月空间内的低成本摇摆点轨道任务预计也将大幅增加。因此，开发更合适的低能量、多目的地转移轨迹设计方法显得尤为重要。

目前，低成本摇摆点轨道任务主要通过低能量转移和共享发射方式实现。EQUULEUS作为阿耳忒弥斯1号的次要载荷被送入EML2准晕轨道[6]。CAPSTONE任务验证了近直线环形轨道的任务设计与运行可行性[7]。DRO-A/B卫星则被分别部署到直接重入轨道和共振轨道，用于演示星际通信与自主导航技术[8]。欧洲航天局的LUMIO任务将进入EML2晕轨道，观测陨石对月球背面的撞击情况[9]。

前往摇摆点轨道的推进剂成本（ΔV）通常低于进入低月球轨道所需的成本。这一能量优势使得摇摆点轨道在深空探索中极具吸引力，从而推动了低能量转移轨迹设计的深入研究。人们经常利用太阳引力扰动和月球引力辅助来设计低能量转移路径。目前已有多种面向摇摆点轨道的低能量转移方法被提出，包括弱稳定性边界理论以及补丁流形技术[10]、[11]。Belbruno和Miller提出了WSB转移方法，并在Hiten任务中对其进行了验证[12]。Haapala等人通过高维庞加莱截面获得了前往摇摆点轨道的低能量转移的初始估计值[13]。Pan等人利用初始向量理论设计了最优的近地轨道-晕轨道转移路径[14]。Wang等人计算了近地轨道到直接重入轨道的两脉冲低能量转移方案，并分析了其动力学特性[15]。此外，还有许多关于向各种周期轨道（如近直线环形轨道、直接重入轨道及准周期轨道）进行低能量转移的研究成果发表在相关文献中[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。

低能量转移设计往往面临巨大的计算负担，这源于设计空间的高维度以及多体动力学固有的强非线性特性。在大多数研究中，低能量转移的初始估计值是通过网格搜索获得的，且每次设计都需要重复进行计算。此外，网格搜索的初始候选值中包含大量高能量解决方案，这些次优候选值会消耗大量计算资源，增加后续轨迹修正的时间。因此，迫切需要新的设计方法来满足日益复杂的任务规划和高频率发射调度需求。

图论与轨道数据库为低能量转移设计问题的解决提供了有效途径。Tsirogiannis等人通过图结构对周期轨道的片段进行拼接，从而获得初步轨迹[22]。Oshima利用近心点之间的数据库，在晕轨道间的转移问题中找到了新的帕累托最优解[23]。Bellome等人结合兰伯特相位与图搜索方法，实现了最优的多行星转移路径设计[24]。月球飞掠能有效降低ΔV值，并扩大地球-月球系统中低能量转移的发射窗口。作为多次月球飞掠转移的重要组成部分，月间转移弧段也已被纳入研究范畴。Lantoine等人表明，月间转移弧段可用于设计逃逸轨迹以及近直线环形轨道到直接重入轨道的转移路径[25]、[26]。Yarnoz等人则基于月间转移数据库，引入了扩展的蒂塞朗-庞加莱图，用于设计星际任务[27]。Rubinsztejn等人则通过网络分析研究了从“门户空间站”出发的逃逸能力[28]。

尽管上述研究已证明了图论和月间转移数据库在轨迹设计中的可行性，但它们在地月系统低能量转移设计中的应用仍处于初期阶段。所获得的解决方案往往包含过多的月间转移弧段，这可能导致强烈的动力学敏感性以及复杂的修正过程。因此，这些方法无法直接应用于低能量的近地轨道到摇摆点轨道的转移设计。此外，将出发阶段和到达阶段正确映射到网络节点上，对于利用有向图方法生成合理且可用的低能量转移轨迹至关重要。然而，现有研究尚未提供一种系统的方法，用于为典型的低能量转移机制，尤其是WSB转移机制，构建源节点和汇节点。另外，尽管许多研究表明基于数据库的方法在共享轨迹设计中具有应用潜力，但实际的转化方法与具体设计结果仍然缺乏。尤其尚不清楚如何将次要载荷的轨迹纳入图结构中。这些局限性促使人们致力于开发更为完善的端到端设计框架。本文从以下两个方面进一步发展了基于有向图的低能量转移设计方法：首先，引入带动力量的月球飞掠，以提高轨迹拼接过程中ΔV成本估算的精确度；其次，明确了地球出发阶段和摇摆点捕获阶段的计算方法，这两者分别作为图网络中的源节点和汇节点。

为支持地球-月球运输系统，本文构建了一种全面的端到端轨迹设计方法。该方法设计了从近地轨道到直接重入轨道的最优多次月球飞掠转移路径，并对其进行了分析。通过带动力量的月球飞掠，建立了连续月间转移弧段之间的连接。地球出发阶段通过“v-无穷匹配法”确定，而直接重入轨道捕获阶段则通过拉伸方向法计算。通过将不同阶段转化为图网络，可借助路径查找算法确定可行的初步轨迹。在后续的修正与优化过程中，首先采用B平面定位方法降低初始猜测的敏感性，然后再通过正则化多射击方法对初步轨迹进行精细化优化。根据模拟结果，比较了转移成本与飞行时间，并分析了所得解集的轨迹特征。此外，该框架还被扩展应用于三维近地轨道到近直线环形轨道的转移场景，结果表明该框架同样能够为三维摇摆点轨道提供可行的初始猜测并构建低能量转移结构。另外，本文还探讨了在考虑主航天器轨迹约束的情况下，为次要载荷设计共享轨迹的问题。文中给出了6条通往不同摇摆点轨道的共享轨迹，包括通往直接重入轨道、EML2李雅普诺夫轨道、SEL1李雅普诺夫轨道、SEL2李雅普诺夫轨道、EML1晕轨道以及EML2晕轨道的转移路径。实验结果充分证明了所提出的轨迹设计方法的有效性。

本文的结构如下：第2节介绍动力学模型及其对应的周期轨道；第3节阐述轨迹设计方法，包括数据库构建、图生成以及包含修正步骤的轨迹优化；第4节展示模拟结果，第5节则给出结论。

章节节选
平面圆形限制性三体问题
在圆形限制性三体问题中，两个质量分别为m1和m2（m1>m2）的主天体围绕它们的共同质心运动，而第三个天体则为无质量点。航天器的运动在旋转坐标系Oxyz中描述。两个主天体分别位于某两点，质量比定义为。为便于计算，DU、TU和VU分别表示归一化的距离、时间与速度单位，其具体数值为……

月间转移数据库构建
月间转移弧段是涉及月球飞掠的低能量转移路径的基本构成要素。在月球飞掠之前和之后，航天器的轨迹始终处于月球引力范围之外，因此其动力学行为可简化为太阳-地球三体模型。考虑到存储容量限制，本研究中的数据库是在平面假设下构建的。此前的研究[25]、[27]已经证明了平面月间转移弧段的适用性及其扩展潜力……

平面近地轨道到直接重入轨道的转移：解集与动力学特性
如3.3节所述，通过将权重系数k从0均匀变化到1，即可获得可行的转移轨迹。在100个候选轨迹中，共筛选出了15条独特的初步轨迹。图中展示了每种转移方式的所需总推力ΔV与飞行时间。为更准确地评估航天器的使用寿命，这些解是根据剩余推力（不包括注入推力）来标注的，因为注入推力通常由火箭提供……

结论与讨论
本文基于有向图，开发了一种用于包含多次月球飞掠的低能量地球到摇摆点轨道转移的端到端轨迹设计框架。该框架以月间转移弧段数据库为基础，利用带动力量的月球飞掠来估算图生成过程中的边权重。对于前往2:1直接重入轨道的转移，地球出发阶段通过“v-无穷匹配法”确定，而直接重入轨道捕获阶段则通过拉伸方向法确定。通过采用最短路径算法……

CRediT作者贡献声明
戴鸿华：项目管理、资金申请。魏彩生：项目管理。余慧昌：可视化处理、验证工作、资源协调。张永和：项目管理、资金申请。王月波：论文撰写——初稿编写、软件应用、方法设计、正式分析、数据整理、概念构思。王亚民：论文撰写——审稿与编辑、任务监督、研究实施、资金申请。

利益冲突声明
? 作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家重点研发计划（编号2021YFA0717100）以及国家自然科学基金（编号12102441）的支持。