带状图跨越拟树上的正则正交矩阵丛及其扭子结构的雅可比矩阵

《Advances in Mathematics》：The Jacobian of a regular orthogonal matroid and torsor structures on spanning quasi-trees of ribbon graphs

　　

马修·贝克|丁长新|金东圭

摘要

Chan–Church–Grochow与Baker–Wang之前的研究表明，平面图G中的生成树集合天然构成了G的雅可比群的扭子结构。通俗来说，这意味着G的生成树集合自然形成一个群，只不过没有特定的单位元。我们将这一结论推广到嵌入在任意亏格的可定向曲面上的图上，这类图可视为“带状图”。在这一推广中，G的生成树集合被带状图的生成拟树集合所替代，而G的雅可比群则被对应的正则正交矩阵丛M的雅可比群所替代（按照Merino、Moffatt和Noble的定义，该矩阵丛与带状图的临界群一致）。我们的证明进一步表明，Backman–Baker–Yuen构建、后来由丁长新加以推广的“BBY扭子”结构，可以自然地推广到正则正交矩阵丛的（正则表示）上。除了阐明上述研究中平面性的作用外，我们的结果也是正交矩阵丛（也称为“偶数德尔塔矩阵丛”或“拉格朗日正交矩阵丛”）首次被应用于图论相关组合问题的重要实例之一。