旋转滚筒中干燥与粘性颗粒流动：流动动力学与标度行为

《Journal of Fluid Mechanics》：Dry and cohesive granular flows in a rotating drum: flow dynamics and scaling behaviours

　　

理解颗粒表面流的流变学（rheology）仍然是一个重大挑战，尤其是当惯性相互作用和粘性相互作用（cohesive interactions）在颗粒之间发生并触发复杂的流态转变时。本研究通过系统的旋转滚筒实验，研究了干燥和粘性颗粒材料的稳定流动动力学，重点关注转速、滚筒与颗粒尺寸比以及粘性水平的影响。研究人员进一步建立了标度律（scaling laws）以捕捉这些因素的联合效应，并提供对干燥和粘性流态下流动行为的统一描述。结果表明，对于干燥颗粒流，归一化流动层厚度（flowing layer thickness）δ₀/d（其中δ₀为流动层厚度，d为颗粒直径）和动态休止角（dynamic angle of repose）tan β₀随弗劳德数（Froude number, Fr）增加而增加，临界转变角tan β₀ ≈ 0.58标志着级联（cascading）的开始。间隙液体的存在引起毛细粘性（capillary cohesion），导致凸形自由表面和更高的β₀与δ₀的塞式流动（plug-like flow）。通过量纲分析（dimensional analysis）结合毛细时间尺度（capillary time scale）推导出的一个新无量纲控制参数，成功地将几乎所有实验数据塌缩到单一主曲线上，这些曲线表现出明显的幂律行为，捕捉了惯性、尺寸和粘性的联合效应。此外，在μ(I)框架（其中μ表示有效摩擦系数（effective friction coefficient），I表示惯性数（inertial number））内的流变学解释揭示了干燥和粘性情况下均存在的率依赖性摩擦强化（rate-dependent frictional strengthening），其中粘性流动由于颗粒间毛细粘性而表现出持续更高的阻力。

本研究旨在理解干燥与粘性颗粒材料在旋转滚筒中的稳定表面流动动力学，并建立统一标度律。研究背景：颗粒表面流的流变学（rheology）仍是重大挑战，尤其当惯性相互作用和粘性相互作用（cohesive interactions）引发复杂流态转变时。旋转滚筒作为基准模型，可用于系统研究，但目前大多数研究局限于干燥颗粒，粘性颗粒的流动机制尚不明确，且缺乏同时考虑惯性、尺寸和粘性的统一标度律。因此，研究人员通过系统的旋转滚筒实验，覆盖宽范围转速、滚筒与颗粒尺寸比（D/d）和粘性强度（由邦德数Bo表征），探究流动动力学及其标度行为。这项研究的意义在于提出了一个新无量纲参数Q^*，统一了干燥与粘性颗粒流的数据，为地质灾害如滑坡的建模提供理论基础。论文发表在《Journal of Fluid Mechanics》。

研究人员采用定制的旋转滚筒装置（PMMA材质，直径150mm，宽度50mm），由步进电机驱动，转速4-40 rpm（弗劳德数Fr 1.34×10^-3至1.34×10^-1）。使用高速CMOS相机（1000-1600 fps）记录颗粒运动，通过粒子图像测速（PIV）技术（PIVlab软件，多遍互相关算法，最终查问窗口32×32像素）提取速度场。图像处理测量动态休止角β₀和流动层厚度δ₀。对于粘性情况，使用乙醇-水混合物（乙醇质量分数0%-15%）作为间隙液体，处于摆动状态（pendular state），获得不同邦德数Bo（1.05-9.43）。通过量纲分析引入毛细时间尺度（capillary time scale）t_c=√(d³ρ_p/(6γ))，提出无量纲流量参数Q^*=?Fr^1/2(D/d)^3/2Bo^-1/2（粘性情况）或?Fr^1/2(D/d)^3/2（干燥情况）。

研究结果如下：

3.1 干燥颗粒流的粒子速度表征
3.1.1 流态与空间速度分布：通过速度矢量场，研究人员发现随着Fr增大，流动从滚动（rolling）过渡到级联（cascading）流态，自由表面从线性变为S形。速度在自由表面中心最大，向内部衰减。在相同Fr下，较小的D/d（较大颗粒）导致高速度区收缩，表明需要更高转速触发级联。

3.1.2 流动层厚度：归一化流动层厚度δ₀/d随Fr呈幂律增长（指数约0.15），且随D/d增大而增大。使用无量纲流量Q^*可以将不同Fr和D/d的数据塌缩到统一曲线上（幂律指数0.35），验证了标度律的有效性。

3.2 干燥颗粒流的自由表面
3.2.1 动态休止角：动态休止角的正切tanβ₀随Fr呈两段幂律增长，在Fr≈8.38×10^-3（或Q^*≈8）发生转变，对应滚动-级联过渡。较小的D/d导致较低的tanβ₀，表明较大颗粒需要更陡表面以提供驱动应力。Q^*能有效统一数据。

3.2.2 表面角与流动层厚度的关系：tanβ₀与δ₀/d呈分段线性关系，临界角tanβ₀≈0.58标记级联开始。基于静摩擦平衡，该关系可表示为tanβ₀=μ_w(δ₀/d)+μ_s，其中μ_w和μ_s分别反映壁面摩擦和颗粒-床层摩擦。

3.3 粘性颗粒材料的流动动力学与标度行为
3.3.1 尺寸比的影响：添加水后，粘性颗粒表现出更大的β₀和δ₀，自由表面凸起，出现塞状流动（plug-like flow）。速度场显示流动层分为上部的塞区和下部的剪切带。剪切率分析表明粘性流动剪切率降低。随D/d减小（颗粒增大），毛细粘性减弱，塞区和剪切带变窄。

3.3.2 毛细诱导粘性的影响：改变乙醇含量调节表面张力，发现随邦德数Bo减小（实际有效粘性增加，因为γcosθ增大），δ₀/d和tanβ₀增大。通过薄板力平衡模型解释：粘性应力增加需通过增厚流动层或增大表面角来补偿。

3.3.3 标度分析与统一律：将粘性情况的数据用Q^*（包含Bo^-1/2）作图，发现所有数据（包括文献数据）都塌缩到单一主曲线，遵循幂律关系：δ₀/d=8.47(Q^*)^0.23，tanβ₀=0.01(Q^*)^1.55+0.67。这表明Q^*能统一捕捉惯性、尺寸和粘性的联合效应。

3.4 与μ(I)流变学的关联：通过将有效摩擦系数μ_eff近似为tanβ₀，惯性数I估计为Q^*/(δ₀/d)²。μ_eff随I单调增加，符合μ(I)流变学（μ(I) rheology）预测的率依赖性摩擦强化（rate-dependent frictional strengthening）。粘性情况下的μ_eff高于干燥情况，反映毛细粘性引起的额外阻力。尽管简化假设导致微小偏差，但整体数据塌缩良好。

总结讨论部分：研究人员通过宏观观测建立了标度律，但指出需要未来数值模拟探索微观机制。同时，实验中滚筒几何固定，轴向效应需进一步研究。

研究结论（来自4. Conclusions部分）翻译如下：
(i) 对于干燥颗粒流，δ₀/d和tanβ₀均随弗劳德数Fr呈现明显的正依赖性。随着Fr增加，观察到从滚动到级联流态的转变，而较小的D/d显示出更延迟的转变起始。基于静摩擦平衡的物理解释表明，较大的颗粒承受更大的有效库仑摩擦和更强的侧向约束，因此需要更高的转速来实现可比的流动动力学。无量纲流量Q^*（Bo<<1）有效地统一了惯性和尺寸效应，在不同的Fr和D/d值下与δ₀/d和tanβ₀建立了一致的幂律关系。此外，tanβ₀与δ₀/d之间的稳健相关性确定了临界转变角tanβ₀≈0.58，标志着级联行为的开始。
(ii) 与无粘性情况相比，间隙液体的存在诱导了毛细桥，增强了颗粒间耦合和内部剪切阻力，产生了具有凸形自由表面的独特塞状流态，表现为准刚性团的集体颗粒运动以及更大的β₀和δ₀值。较小的颗粒或较高的乙醇含量，通过直接控制颗粒尺度的粘性强度，增强了有效粘性，从而促进了更陡的自由表面和更厚的流动层。这种行为通过基于薄板的力平衡模型在机制上得到解释，其中增加的粘性应力必须通过更厚的层通过更大的基底法向应力或通过更陡的表面通过增强的下坡驱动应力来补偿。同时，较高Fr下的惯性增强加剧了碰撞应力，进一步放大了δ₀/d和tanβ₀以促进能量耗散。
(iii) 对于处于摆动状态的粘性颗粒材料，提出了一个无量纲控制参数Q^*，该参数源于包含毛细时间尺度的量纲分析，以量化粘性、尺寸和惯性效应的联合效应。值得注意的是，几乎所有δ₀/d和tanβ₀的实验数据在绘制为Q^*的函数时都塌缩到单一主曲线上，在广泛的Fr、D/d和Bo值范围内遵循明确的幂律关系。这些结果凸显了Q^*作为捕捉粘性颗粒流基本物理的控制参数的稳健性和普适性。
(iv) 对实验数据的流变学解释，将有效摩擦系数μ_eff与惯性数I联系起来，揭示了在几乎所有实验情况下μ_eff随I单调增加，这与μ(I)流变学预测的一般趋势一致。与干燥情况相比，粘性流的流变响应在给定的I下表现出更高的有效摩擦系数，捕捉了颗粒间毛细粘性引起的增加流动阻力。这表明，基于特征时间尺度的I定义在一定程度上捕捉了控制干燥和粘性颗粒流的底层物理。