综述：绝缘体和金属中的绝热可观测量与贝里曲率

《Annual Review of Fluid Mechanics》：Adiabatic observables and Berry curvatures in insulators and metals

　　

当考虑量子系统在零温下的时间演化时，“绝热”形容词是“无限缓慢”的同义词。研究人员在这里相当普遍地研究了量子系统对无限缓慢扰动的线性响应：结果表明，在绝热极限下，量子力学可观测量的时间依赖期望值在多数情况下可以通过适当的贝里曲率（Berry curvature）来表达。属于此类的凝聚态可观测量包括：线性直流电导率（纵向和横向）、感应宏观极化、绝缘体和金属中的玻恩有效电荷（Born effective charges），以及电解质中的量子化法拉第电荷（quantized Faraday charges）。自发极化则通过一个相关的几何实体——贝里相位（Berry phase）来表达。值得注意的是，即使金属中不存在能隙，绝热极限在其内部也有良好定义。对于上述所有可观测量，在量子几何（quantum geometry）的多体框架下推导出了显式的贝里曲率（Berry curvature）表达式，这也使得公式和符号非常紧凑且透明。将它们转化为独立电子晶体情况下的布洛赫几何（Bloch geometry）公式——用于Kohn-Sham实现——是直接的。

本文针对绝缘体和金属中的多个凝聚态可观测量，系统阐述了它们在绝热极限下的几何表达式，强调基于多体量子几何（quantum geometry）的贝里曲率（Berry curvature, BC）和贝里相位（Berry phase, BP）框架。以下按章节总结主体内容。

**1. 引言**
文章首先定义了绝热演化：当哈密顿量受参数λ(t)驱动，且λ?(t)为无穷小量时，系统演化至线性阶精确，忽略λ?(t)及以上项。在Born–Oppenheimer近似下，核运动慢速时电子波函数及其可观测量可用绝热演化近似。绝热性与电子输运理论深刻相关，例如在时间反演（T）不变系统中，瞬时基态电流为零而电荷密度变化，连续性方程的矛盾由绝热输运理论解决。本文聚焦于多电子体系的可观测量：感应宏观极化、线性直流电导率（纵向和横向）、固体和液体（绝缘和金属）中的玻恩有效电荷（Born effective charges, BEC），以及电解质中的法拉第输运电荷（Faraday charges）。所有可观测量均表达为贝里曲率（BC）的形式；自发极化则表达为贝里相位（BP）。金属中的绝热响应虽看似反直觉（热力学极限下无能隙），但在Kohn的直流电导率概念框架下是合理的。部分可观测量可拓扑量化，如二维绝缘体的本征霍尔电导率和电解质中的法拉第电荷。本文采用多体量子几何公式，而非独立电子框架下的布洛赫向量k，并以“通量”κ作为参数，使得符号紧凑，并给出转换为布洛赫几何（Bloch geometry）公式的简单规则。此外，文中还讨论了非局域赝势（nonlocal pseudopotentials）对绝热响应函数的影响。

**2. 量子几何要素**
2.1 贝里联络（Berry connection）：对于含参数λ的哈密顿量，基态贝里联络为Aλ=i〈Ψ0|?λΨ0〉，是规范相关的。当参数周期变化时，其环路积分给出规范不变的贝里相位（Berry phase, BP），定义为模2π。
2.2 贝里曲率（Berry curvature）：对于两个参数(κ,λ)，贝里曲率定义为Ω(κ,λ)=?κAλ??λAκ=?2Im〈?κΨ0|?λΨ0〉，是规范不变的。它可通过求和-求态公式（Kubo公式）表达为Ω(κ,λ)=?2Im∑_n≠0〈Ψ0|?κ?|Ψ_n〉〈Ψ_n|?λ?|Ψ0〉/(E₀?E_n)²，体现激发态对基态的最低阶影响。曲率也可直接由基态投影算符P?=|Ψ0〉〈Ψ0|表达为Ω(κ,λ)=iTr{P?[?κP?, ?λP?]}。
2.3 非局域赝势（nonlocal pseudopotentials）：当使用非局域赝势时，哈密顿量除了对参数κ和λ的依赖外，还显式依赖λ?。因此贝里联络和曲率需增广附加项，例如Aλ=i〈Ψ0|?λΨ0〉?〈Ψ0|?_λ??|Ψ0〉/?，曲率也相应修改。

**3. 可观测量的绝热演化**
3.1 绝热Hellmann–Feynman定理：若可观测量算符可表示为哈密顿量对参数κ的导数，则绝热极限下O(t)=?_κE₀??Ω(κ,λ)λ?(t)。零阶项为静态Hellmann–Feynman结果，一阶项为几何贡献。
3.2 一般可观测量：对于不能写作哈密顿量导数的算符，其绝热演化表达式为O(t)=〈Ψ0|?|Ψ0〉+2?λ?(t)Im∑_n≠0〈Ψ0|?|Ψ_n〉〈Ψ_n|?λ?|Ψ0〉/(E₀?E_n)²。
3.3 时间反演不变性：在T-对称系统（无自旋-轨道耦合）中，实算符（如密度）仅贡献零阶项，虚算符（如电流、角动量）仅贡献一阶几何项。后者使得绝热Hellmann–Feynman定理简化为O(t)/λ?(t)=??Ω(κ,λ)。

**4. 多电子系统**
4.1 哈密顿量（Hamiltonian）：给出了N电子系统的哈密顿量形式?=(1/2m)∑π_i²+V?，其中π_i=p_i+(e/c)A(r_i)。假设单态基态，忽略自旋。
4.2 绝热极限下的连续性方程：微观电流密度算符?(r)和电荷密度算符ρ?(r)在绝热极限下满足连续性方程ρ?=??·j。证明表明，ρ?(r,t)由基态投影项给出，而j(r,t)由几何项给出，两者通过算符关系?·?(r)=(i/?)[ρ?(r),?]相联系，保证了方程成立。
4.3 分子与凝聚态：分子采用开放边界条件，凝聚态采用Born–von-Kàrmàn周期边界条件（PBCs）。文章聚焦凝聚态，系统为N个相互作用d维电子在立方超胞中，电荷中性。周期边界条件使得坐标等效于环面上的角度。
4.4 绝缘体和金属中的宏观电流密度：将哈密顿量改写为含通量κ的形式，使得速度算符为v?=??_κ?/?，宏观电流密度?=?e v?/L^d。基于此，绝热电流表达式为j_α(t)=?(e/?L^d)?_καE₀+(e/L^d)Ω(κ_α,λ)λ?(t)。在金属中，通过先取有限尺寸L（此时存在能隙）取κ导数，再取L→∞极限，确保绝热性。

**5. 宏观极化（Macroscopic polarization）**
5.1 感应极化（Induced polarization）：极化对参数λ的导数由绝热电流给出：?_λP_α^(electronic)=(e/L^d)Ω(κ_α,λ)。这源自King-Smith和Vanderbilt的单粒子曲率推广，此处为多体曲率。利用周期边界条件可改写为通量平均形式。
5.2 极化差（Polarization differences）：对于绝热连接的两个绝缘构型，极化差可通过Stokes定理转化为两个贝里相位之差：ΔP_x=?(e/(2πL^d?1))[γ(λ₂)?γ(λ₁)]+核项，其中γ(λ)=∫₀^2π/Ldκ_x A_κx(κ_x,λ)。此多体公式归功于Resta的工作。
5.3 极化“本身”（Polarization “itself”）：在PBCs下，极化定义为多值可观测量，即一个晶格。表达式为P_x=?(e/(2πL^d?1))∫₀^2π/Ldκ_x A_κx+核项。在大L极限下，积分收缩为单点贝里相位（single-point Berry phase）：∫dκ_x A_κx??Im ln〈Ψ0|exp(i(2π/L)∑x_i )|Ψ0〉。最终总极化可写为包含核坐标的相位形式。
5.4 极化作为多值可观测量：极化量子模为eR/V_cell，其中R为晶格矢量。在晶体中，通过取原胞体积使得极化有明确定义；在非晶绝缘体中，只有极化差有定义。独立电子情况下，多体极化公式简化为著名的贝里相位表达式。

**6. 直流电导率（Dc conductivity）**
6.1 Drude权重（Drude weight）：纵向电流由哈密顿量对κ的二阶导数给出：?_tj_α⁽⁺⁾=(e²/?²L^d)(?²E₀/?κ_α?κ_β)E_β。这定义了Drude权重D_αβ=πe²?^?2L^?d?²E₀/?κ_α?κ_β，对应有效电子密度。通过傅里叶变换得到因果性直流电导率σ_αβ^(Drude)(ω)=D_αβ[δ(ω)+i/(πω)]。
6.2 本征霍尔电导率（Intrinsic Hall conductivity）：横向（霍尔）电导率由贝里曲率给出：σ_αβ^(?)(0)=?e²/(?L^d)Ω(κ_α,κ_β)，适用于d=2,3的绝缘体和金属，且要求系统破缺时间反演不变。
6.3 量子化霍尔电导率（Quantized Hall conductivity）：在二维绝缘体中，霍尔电导率拓扑量子化为σ_xy^(?)(0)=?e²/(h)C₁，其中C₁∈Z为陈数（Chern number）。多体陈数定义为(2π)^?1?dκ_xdκ_yΩ(κ_x,κ_y)，在绝缘系统中积分域为环面，量子化在任意L成立；大L极限下曲率在一点的值趋于该积分。

**7. 玻恩有效电荷（Born effective charges）**
7.1 绝缘体（Insulators）：玻恩有效电荷张量Z_s,αβ^*定义为由第s个核以单位速度运动引起的宏观电流。其几何表达式为Z_s,αβ^*=Z_sδ_αβ+Ω(κ_α, R_s,β)，曲率在κ=0和平衡核位置求值。绝缘体中满足声子求和规则∑_sZ_s,αβ^*=0。
7.2 金属（Metals）：金属中声子求和规则不成立，且非局域赝势需要增广项。当核运动时，哈密顿量需通过规范变换移到运动参考系，从而引入显式依赖R?的项。因此玻恩有效电荷表达式修正为Z_s,αβ^*=Z_sδ_αβ?2Im〈?_καΨ0|?_Rs,βΨ0〉??^?1?_κα〈Ψ0|?_R?s,βV?_Rs|Ψ0〉。增广项仅适用于金属，因为绝缘体中声子求和规则要求其为零。
7.3 Dreyer–Coh–Stengel求和规则：当所有核以相同速度u?平移时，总电流由所有核玻恩有效电荷之和给出，该和可表达为与Drude权重的关系：L^?d∑_sZ_s,αβ^*=(m/πe²)D_αβ=(m/?²L^d)?²E₀/?κ_α?κ_β。这等价于在核参考系中，电流由以?u?运动的电子携带，有效电子密度由Drude权重定义。同时，Drude权重可重写为几何形式：D_αβ=D_αβ^(free)+(πe²)/(mL^d)Ω(κ_α, u_β)。
7.4 电解质中的法拉第输运（Faraday transport in electrolytes）：考虑绝缘性液体电解质。在PBCs下，超胞中沿x方向的电流为I_x=(e/L)∑_sZ_xβ^*(t)R?_s,β(t)，其中玻恩有效电荷依赖于瞬时核位置。若驱动单个核绕环面一周（其他核配合但不穿过边界），且系统在过程中保持绝缘，则输运的电子电荷为Q_s^(electronic)=eC₁，C₁为陈数。结合核电荷Z_se，得到法拉第电荷Q_s=e(C₁+Z_s)，在宏观时间尺度下表现为拓扑量子化，对应法拉第电解定律。此结果基于Pendry和Hodges的思想，与Thouless泵理论一致。

**8. 结论**
本文研究的可观测量均测量凝聚态系统对缓慢哈密顿量变化的绝热响应。除宏观极化外，所有可观测量均通过贝里曲率表达。微观电荷和电流密度验证了连续性方程。极化理论在多体框架下回顾，感应极化由曲率表达，极化本身由贝里相位表达且为多值。直流电导率（纵向和横向）以及玻恩有效电荷和法拉第电荷均基于绝热响应理论，适用于绝缘体和金属。金属中的绝热性通过Kohn的有限尺寸方法保证。纵向响应（Drude权重）和刚性平移响应通过Dreyer–Coh–Stengel求和规则关联，表达为同一贝里曲率。法拉第电荷的拓扑量化源于核绕环面一周的绝热输运。所有公式均采用紧凑的多体量子几何形式。